Rumus Aturan Sinus dan Cosinus Lengkap dengan Contoh Soal

Aturan sinus adalah sebuah aturan yang diturunkan berdasarkan hubungan perbandingan nilai sin dari suatu sudut dengan panjang sisi-sisi pada segitiga. Aturan sinus memperlihatkan perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut. Aturan cosinus adalah sebuah aturan yang diturunkan berdasarkan hubungan antara panjang sisi-sisi dalam segitiga dengan nilai cosinus salah satu sudut pada segitiga tersebut. Aturan cosinus diturunkan dengan memanfaatkan teorema Pythagoras dan trigonetri. Aturan sinus dan aturan cosinus berlaku pada segitiga lancip dan segitiga tumpul. Lalu, bagaimana penggunaan aturan sinus dan penggunaan aturan cosinus dalam sebuah segitiga? Pada kesempatan ini, si Jeger akan membahas rumus aturan sinus dan aturan cosinus beserta contoh soal dan pembahasannya.

Penggunaan Aturan Sinus

Menurut aturan sinus, dalam setiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut mempunyai nilai yang sama. Nah, untuk itu kembali kita ingat hubungan antara sisi dengan sudut di hadapannya.

Sudut di hadapan sisi merupakan sudut yang berada di depan sisi tersebut. Dalam segitiga, biasanya penamaan sisi disesuaikan dengan nama sudut yang berada di depannya hanya saja dengan menggunakan huruf kecil.

Dengan demikian, pada segitiga ABC berlaku :
1. Sudut A berada di depan sisi a
2. Sudut B berada di depan sisi b
3. Sudut C berada di depan sisi c

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa gambar segitiga berikut ini!


Berdasarkan aturan sinus, perbandingan antara panjang sisi a dengan sinus sudut A akan sama dengan perbandingan antara panjang sisi b dengan sinus sudut B.

a = b sin A sin B

Berdasarkan aturan sinus, perbandingan antara panjang sisi a dengan sinus sudut A akan sama dengan perbandingan antara panjang sisi c dengan sinus sudut C.

a = c sin A sin C

Dengan demikian, untuk setiap segitiga ABC berlaku aturan sinus sebagai berikut:

a = b = c sin A sin B sin C

Keterangan :
a = panjang sisi a
A = besar sudut di hadapan sisi a
b = pajang sisi b
B = besar sudut di hadapan sisi b
c = panjang sisi c
C = besar sudut di hadapan sisi c

Contoh Soal :
Diketahui segitiga ABC dengan besar ∠A = 37^o, ∠B = 53^o. Jika diketahui panjang sisi b = 10 cm, tentukanlah :
A). Besar sudut ∠B
B). Panjang sisi a dan sisi c

Pembahasan :
Dik : ∠A = 37^o, ∠B = 53^o, b = 10 cm

A). Besar sudut ∠B
Karena jumlah total sudut dalam segitiga adalah 180^o, maka berlaku :
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180^o
⇒ ∠B = 180^o − (∠A + ∠B)
⇒ ∠B = 180^o − (37^o + 53^o)
⇒ ∠B = 180^o − 90^o
⇒ ∠B = 90^o

Jadi, besar sudut B adalah 90^o.

B). Panjang sisi a dan sisi c
Berdasarkan aturan sinus, maka berlaku:

⇒	a	=	b
	sin A		sin B

⇒	a	=	10
	sin 37o		sin 90o

⇒	a	=	10
	0,6		1

⇒ a = 0,6 (10)
⇒ a = 6 cm

Berdasarkan aturan sinus, juga berlaku:

⇒	c	=	b
	sin C		sin B

⇒	c	=	10
	sin 53o		sin 90o

⇒	c	=	10
	0,8		1

⇒ c = 0,8 (10)
⇒ c = 8 cm

Jadi, panjang sisi a = 6 cm dan panjang sisi c = 8 cm.

Penggunaan Aturan Cosinus

Aturan cosinus dalam segitiga memperlihatkan hubungan antara kuadrat panjang sisi dalam segitiga dengan nilai cosinus dari salah satu sudutnya. Pada persamaan aturan cosinus, salah satu sudut tersebut diletakkan di sebelah kanan dan bersesuaian dengan sisi yang berada di sisi kiri.

Untuk setiap segitiga ABC, berlaku aturan cosinus sebagai berikut:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

Coba perhatikan ketiga rumus di atas. Dari rumus tersebut dapat kita lihat sebuah pola yaitu sudut yang digunakan dalam rumus adalah sudut yang berhadapan dengan sisi yang berada di sebelah kiri persamaan tersebut.

Keterangan :
a = panjang sisi a
A = besar sudut di hadapan sisi a
b = pajang sisi b
B = besar sudut di hadapan sisi b
c = panjang sisi c
C = besar sudut di hadapan sisi c

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 10 cm, panjang sisi c = 12 cm dan besar sudut ∠B = 52^o. Tentukanlah panjang sisi b.

Pembahasan :
Dik : a = 10 cm, c = 12 cm, ∠B = 52^o

Berdasarkan aturan cosinus:
⇒ b² = a² + c² − 2ac cos B
⇒ b² = 10² + 12² − 2(10)(12) cos 52^o
⇒ b² = 100 + 144 − 240 (0,615)
⇒ b² = 244 − 147,7
⇒ b² = 96,3
⇒ b = 9,8 cm

Jadi, panjang sisi b adalah 9,8 cm.