Contoh Soal dan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

A. {x| x ≤ -1 atau x ≥ 5}

B. {x| x ≤ -1 atau x > 5}

C. {x| x < -1 atau x > 5}

D. {x| 5 ≤ x ≤ -1}

E. {x| -1 ≤ x ≤ 5}

Pembahasan :
Untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear, kita dapat menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat atau dengan garis bilangan. Untuk soal ini kita akan coba selesaikan dengan metode garis bilangan.

Metode Garis Bilangan

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dengan metode garis bilangan adalah sebagai berikut :

1. Jika ada, carilah nilai-nilai nol pada bagian ruas kiri pertidaksamaan (sama seperti menentukan akar-akar persamaan kuadrat).
2. Gambarkan nilai-nilai yang kita peroleh ke dalam garis bilangan.
3. Ambil tiga nilai uji yang berada dalam masing-masing interval pada garis bilangan tersebut dan masukkan nilainya ke pertidaksamaan.
   
   
   
4. Perhatikan hasilnya positif atau negatif. Berdasarkan tanda positif atau negatif itulah kita dapat menetapkan interval yang memenuhi. Itulah himpunan penyelesaiannya.

Berdasarkan langkah di atas, kita akan coba selesaikan soalnya.
Langkah I :
Ubah tanda pertidaksamaan menjai persamaan.
⇒ -x² + 4x + 5 ≤ 0
⇒ -x² + 4x + 5 = 0
⇒ (-x + 5) (x + 1) = 0
⇒ x = 5 atau x = -1

Langkah II :
Gambarkan nilai -1 dan 5 ke dalam garis bilangan.
Langkah III :
Berdasarkan garis bilangan itu, maka kita bisa ambil tiga nilai titik uji. Kali ini kita akan coba nilai -2, 0, dan 6. Kemudian masukkan nilai tersebut ke dalam pertidaksamaan :

Nilai uji	Nilai -x2 + 4x + 5	Tanda interval
x = -2	-(-2)2 + 4(-2) + 5 = -7	− maka < 0
x = 0	-(0)2 + 4(0) + 5 = +5	+ maka > 0
x = 6	-(6)2 + 4(6) + 5 = -7	− maka < 0

Langkah IV :
Karena pertidaksamaan pada soal adalah ≤, maka interval yang sesuai adalah interval yang nilai ujinya menghasilkan nilai bertanda negatif (-).


Dengan demikian, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan -x² + 4x + 5 ≤ 0 adalah :
⇒ {x| x ≤ -1 atau x ≥ 5}

A. {x| x < -2 atau x > 3}	D. {x| 2 ≤ x ≤ -3}
B. {x| x < -3 atau x > 2}	E. {x| x ≤ -3 atau x ≥ 2}
C. {x| x < 2 atau x > 3}

Pembahasan :
Kita dapat menentukan himpunan penyelesaiannya berdasarkan metode garis bilangan.
Langkah I :
Ubah tanda pertidaksamaan menjai persamaan.
⇒ x² + x − 6 > 0
⇒ x² + x − 6 = 0
⇒ (x + 3) (x − 2) = 0
⇒ x = -3 atau x = 2

Langkah II :
Gambarkan nilai -3 dan 2 ke dalam garis bilangan.

Langkah III :
Berdasarkan garis bilangan itu, maka kita bisa ambil tiga nilai titik uji. Kali ini kita akan coba nilai -4, 0, dan 3. Kemudian masukkan nilai tersebut ke dalam pertidaksamaan :

Nilai uji	Nilai x2 + x − 6	Tanda interval
x = -4	(-4)2 + (-4) − 6 = +6	+ maka > 0
x = 0	(0)2 + (0) − 6 = -6	− maka < 0
x = 3	(3)2 + (3) − 6 = +6	+ maka > 0

Langkah IV :
Karena pertidaksamaan pada soal adalah >, maka interval yang sesuai adalah interval yang nilai ujinya menghasilkan nilai bertanda positif (+).
Dengan demikian, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan x² + x − 6 > 0 adalah :
⇒ {x| x < -3 atau x > 2}