Contoh Cara Penyelesaian Pertaksamaan Kuadrat dengan Grafik

A. {x| 1 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}

B. {x| -1 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}

C. {x| -4 ≤ x ≤ 1, x ∈ R}

B. {x| x ≤ 1 atau x ≥ 4}

C. {x| x < 1 atau x > 4}

Pembahasan :
Untuk menjawab soal di atas dengan menggunakan grafis fungsi kuadrat, maka kita harus tahu bagaimana cara menggambar grafik fungsi kuadrat f(x) = x² − 5x + 4.  Untuk cara Menggambar Fungsi Kuadrat bisa dibaca di: Cara Menggambar Grafik Persamaan Kuadrat

Mencari HP dengan Grafik Fungsi kuadrat

Berikut langkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan grafik fungsi kuadrat.

1. Gambar sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) =  ax² + bx + c, kemudian cari titik potong terhadap sumbu x jika ada.
2. Tentukan interval yang memenuhi pertidakamaan kuadrat berdasarkan sketsa grafik yang kita hasilkan di lagkah pertama. 

Berdasarkan cara di atas, maka langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mengasumsikan x² − 5x + 4 ≤ 0 sebagai fungsi kuadrat f(x) = x² − 5x + 4. Setelah titik potong dan titik puncak grafik ditentukan, diperoleh grafik seperti berikut ini :

Berdasarkan grafik di atas kita dapat menentukan interval yang memenuhi 4 macam pertidaksamaan sekaligus, yaitu :

1. x² − 5x + 4 ≤ 0
   Yang menjadi patokan kita adalah nilai y dan x. Untuk pertidaksamaan ≤ 0, maka perhatikan nilai y di bagian bawah (y ≤ 0). Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa nilai y akan ≤ 0 jika nilai x berada antara 1 sampai 4 dengan 1 dan 4 termasuk di dalamnya.
   

   
   Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaan x² − 5x + 4 ≤ 0, adalah :
   ⇒ HP = {x| 1 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}
   
   
2. x² − 5x + 4 < 0
   Sama seperti nomor 1, yang harus kita perhatikan adalah nilai x yang menghasilkan y < 0. Nilai itu berada di antara 1 dan 4 tetapi tidak 1 dan 4 tidak termasuk di dalamnya.
   
   Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaan x² − 5x + 4 ≤ 0, adalah :
   ⇒ HP = {x| 1 < x < 4, x ∈ R}
   
   
3. x² − 5x + 4 ≥ 0
   Untuk pertidaksamaan ≥ 0, maka yang harus kita perhatikan adalah interval nilai x yang akan menghasilkan nilai y positif (≥ 0). Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa y akan bernilai positif jika nilai x lebih kecil dari 1 atau lebih besar dari 4. Karena pertidaksamaan lebih besar sama dengan (≥), maka 1 dan 4 juga termasuk himpunan penyelesaian.
   
   Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaan x² − 5x + 4 ≥ 0, adalah :
   ⇒ HP = {x| x ≤ 1 atau x ≥ 4, x ∈ R}
   
   
4. x² − 5x + 4 > 0
   Untuk pertidaksamaan lebih besar dari (>), maka jawabannya akan sama dengan nomor 3 hanya saja 1 dan 4 tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian.
   
   Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaan x² − 5x + 4 ≥ 0, adalah :
   ⇒ HP = {x| x < 1 atau x > 4, x ∈ R}
   
   

Kembali ke soal, kita diminta mencari HP untuk x² − 5x + 4 ≤ 0, berarti sudah kita jawab pada bagian (a) di atas, yaitu HP = {x| 1 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}.

A. {x| x ∈ R dan x ≠ 3}	D. {x| x = -3}
B. {x| x ∈ R}	E. {x| x ∈ R dan x ≠ 9}
C. {x| x = 3}

Pembahasan :
Dengan menggunaka sketsa grafik, maka kita asumsikanlah x² − 6x + 9  ≥ 0 sebagai fungsi kuadrat f(x) = x² − 6x + 9  yang jika digambar, grafiknya akan terlihat seperti di bawah ini :

Berdasarkan sketsa grafik di atas, maka kita dapat menentukan himpunan penyelesaian untuk empat macam pertidaksamaan sebagai berikut :

1. x² − 6x + 9 ≤ 0
   Perhatikan nilai x yang menghasil y negatif. Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa tidak ada nilai y negatif, dan hanya ada nilai y = 0 untuk x = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaan x² − 6x + 9 ≤ 0, adalah :
   ⇒ HP = {x| x = 3}
   
   
2. x² − 6x + 9 < 0
   Seperti dijelaskan pada nomor 1, tidak ada nilai x yang menghasilkan y berharga negatif, sehingga himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan x² − 6x + 9 < 0 adalah himpunan kosong, ditulis ∅.
   

   
   
3. x² − 6x + 9 ≥ 0
   Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa y akan bernilai positif jika nilai x lebih kecil dari 3 atau lebih besar dari 3. Karena 3 juga termasuk ke dalam himpunan penyelesaian, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan x² − 6x + 9 ≥ 0, adalah :
   ⇒ HP = {x| x ∈ R}
   
   
4. x² − 6x + 9 > 0
   Karena tanda pertidaksamaannya lebih besar dari (>), maka nilai 3 tidak temasuk ke dalam himpunan penyelesaian, sehingga himpunan penyelesaian pertidaksamaan x² − 6x + 9 > 0, adalah :
   ⇒ HP = {x| x ∈ R dan x ≠ 3}

Kembali ke soal, kita diminta mencari HP untuk x² − 6x + 9 ≥ 0, berarti sudah kita jawab pada bagian (c) di atas, yaitu HP = {x| x ∈ R}.