Rumus Menentukan Beda pada Deret Aritmatika Lengkap

Beda Barisan Aritmatika. Beda adalah bilangan tetap yang menjadi selisih antara setiap dua suku yang berdekatan dalam suatu barisan aritmatika. Beda merupakan ciri khas dari barisan aritmatika yang membedakannya dengan barisan bilangan lainnya. Secara sederhana, beda suatu barisan artimatika dapat ditentukan dengan menghitung selisih antara dua suku yang berdekatan. Karena selisih antara setiap dua suku yang berdekatan pada barisan aritmatika adalah sama besar, maka kita dapat memilih dua suku yang paling sederhana pengurangannya. Pada kesempatan ini, Si Jeger akan membahas beberapa kondisi yang sering muncul dalam soal untuk menentuan beda barisan artimatika.

A. Suku-suku yang Berdekatan Diketahui

Kondisi pertama yang paling umum dan merupakan soal dasar dalam barisan aritmatika adalah menentukan beda suatu barisan artimatika jika suku-suku yang berdekatan (berurutan) diketahui. Jika suku-suku yang berdekatan diketahui dalam soal, maka beda barisan dapat dengan mudah ditentukan.

Seperti yang telah dijelaskan di atas, beda barisan merupakan selisih antara dua suku yang berdekatan. Dengan kata lain, beda dapat dihitung dengan cara mengurangkan sebuah suku ke-n dengan suku sebelumnya. Secara matematis rumus tersebut ditulis sebagai berikut:

b = Un − Un-1

Keterangan :
b = beda barisan atau selisih antara dua suku berdekatan
Un = suku ke-n suatu barisan artimatika (dengan n = 1, 2, 3, ....)
U_n-1 = sebuah suku sebelum suku ke-n barisan aritmatika.

Jika dalam perhitungan kita ambil suku ke-n adalah U₄, maka suku sebelumnya adalah U₃. Jika yang kita ambil adalah suku keenam, U₆, maka suku sebelumnya adalah U₅ dan begitu seterusnya.

Contoh :
Diberikan barisan artimatika : 10, 6, 2, -2, -6, -10. Tentukanlah beda barisan tersebut!

Pembahasan :
Dik : suku-suku berdekatan : 10, 6, 2, -2, -6, -10
Dit : b = .... ?

Berdasarkan rumus beda, maka :
⇒ b = U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = U₄ - U₃ = U₅ - U₄
⇒ b = 6 - 10 = 2 - 6 = -2 - 2 = -6 - (-2)
⇒ b = -4 = -4 = -4 = -4
⇒ b = -4

Jadi, beda barisan tersebut adalah -4.

B. Suku Pertama dan Sebuah Suku ke-n Diketahui

Kondisi berikutnya adalah suku pertama dan sebuah suku ke-n diketahui. Jika di dalam soal hanya diketahui dua buah suku, yaitu suku pertama dan sebuah suku ke-n lainnya yang tidak berdekatan dengan suku pertama, maka beda barisan dapat ditentukan dengan metode substitusi.

Caranya cukup sederhana, yaitu susun persamaan yang bersesuaian dengan suku ke-n yang diketahui kemudian substitusi nilai a (suku pertama) ke persamaan tersebut untuk memperoleh beda barisannya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh :
Diketahui suku kedelapan suatu barisan artitmatika adalah 125. Jika suku pertama barisan tersebut adalah 20, maka tentukanlah beda barisan itu!

Pembahasan :
Dik : a = 20, U₈ = 125
Dit : b = .... ?

Persamaan untuk suku kedelapan, masukkan n = 8 :
⇒ U_n = a + (n - 1)b
⇒ U₈ = a + (8 - 1)b
⇒ 125 = a + 7b

Selanjutnya substitusi nilai a ke persamaan tersebut :
⇒ 125 = a + 7b
⇒ 125 = 20 + 7b
⇒ 125 - 20 = 7b
⇒ 7b = 105
⇒ b = 15

Jadi, beda barisan tersebut adalah 15.

C. Rumus Suku ke-n (Un) Diketahui

Kondisi berikutnya adalah jika rumus suku ke-n diketahui. Jika rumus suku ke-n (Un) diketahui dan dinyatakan dalam variabel n, maka beda barisan dapat ditentukan dengan menentukan dua suku pertama barisan tersebut terlebih dahulu kemudian dilihat selisihnya.

Langkah-langkah penyelesaian :
1). Tentukan suku pertama barisan tersebut
2). Tentukan suku kedua barisan tersebut
3). Hitung selisih antara kedua suku tersebut.

Contoh :
Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika dinyatakan dengan persamaan Un = 3n + 12. Tentukanlah beda barisan tersebut!

Pembahasan :
Dik : Un = 3n + 12
Dit : b = .... ?

Langkah #1 : menentukan suku pertama, ambil n = 1
⇒ Un = 3n + 12
⇒ U₁ = 3(1) + 12
⇒ U₁ = 3 + 12
⇒ U₁ = 15

Langkah #2 : menentukan suku kedua, ambil n = 2
⇒ Un = 3n + 12
⇒ U₂ = 3(2) + 12
⇒ U₂ = 6 + 12
⇒ U₂ = 18

Langkah #3 : menghitung selisih kedua suku
⇒ b = U₂ - U₁
⇒ b = 18 - 15
⇒ b = 3

Jadi, beda barisan tersebut adalah 3.

D. Dua Suku Berjauhan Diketahui

Kondisi selanjutnya adalah diketahui dua buah suku yang tidak berdekatan. Jika dalam soal hanya diketahui dua atau beberapa suku yang letaknya tidak berurutan atau berjauhan, maka beda barisan dapat ditentukan dengan menyusun sistem persamaan linear dua variabel terlebih dahulu.

Langkah-langkah penyelesaian :
1). Susun persamaan untuk suku-suku yang diketahui
2). Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang terbentuk

Contoh :
Sebuah barisan aritmatika terdiri dari delapan suku. Jika suku ketiga dan suku keenam suatu barisan aritmatika adalah 50 dan 95, maka tentukanlah beda barisan tersebut!

Pembahasan :
Dik : U₃ = 50, U₆ = 95
Dit : b = .... ?

Langkah #1 : Menyusun persamaan untuk suku yang diketahui
Untuk suku ketiga, masukkan n = 3 :
⇒ U_n = a + (n - 1)b
⇒ U₃ = a + (3 - 1)b
⇒ 50 = a + 2b

Untuk suku keenam, masukkan n = 6 :
⇒ U_n = a + (n - 1)b
⇒ U₆ = a + (6 - 1)b
⇒ 95 = a + 5b

Diperoleh dua persamaan linear dua variabel, yaitu:
1). a + 2b = 50
2). a + 5b = 95

Langkah #2 : Menyelesaikan SPLDV yang terbentuk dengan metode substitusi
Dari persamaan (1) :
⇒ a + 2b = 50
⇒ a = 50 - 2b

Substitusi persamaan tersebut ke persamaan (2) :
⇒ a + 5b = 95
⇒ 50 - 2b + 5b = 95
⇒ 3b = 95 - 50
⇒ 3b = 45
⇒ b = 15

Jadi, beda barisan tersebut adalah 15.