Contoh Soal dan Penyelesaian Persamaan Garis Singgung Lingkaran
- Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0 yang tegak lurus dengan garis y = 4 - x adalah .....
A. y = x − 5 B. y = x + 5 C. y = 2x − 5 D. y = 2x + 5 E. 2y = x − 5
Pembahasan :
Ada beberapa metode yang dapat kita gunakan untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran dan metode tersebut bergantung pada persamaan dan titik yang diketahui. Untuk (x − a)2 + (y − b)2 = r2 dan bergradien m, maka persamaan garis singgungnya adalah :y − b = m(x − a) ± r √1 + m2Kita dapat mengubah persamaan lingkaran di atas menjadi bentuk umum persamaan lingkaran yang pusatnya berada di titik P(a,b) dan berjari-jari r, yaitu :Baca Juga
⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r2
Sekarang perhatikan persamaan lingkaran pada soal.⇒ x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0
Dik : a = 2⁄2 = 1; b = -4⁄2 = -2 dan c = 3.
Tentukan pusat lingkaran :
⇒ P = (-a, -b)
⇒ P = (-1, -(-2))
⇒ P = (-1,2)
Tentukan jari-jari lingkaran :
⇒ r = √(-a)2 + (-b)2 − c
⇒ r = √(-1)2 + (2)2 − (3)
⇒ r = √1 + 4 - 3
⇒ r = √2
Jadi bentuk lain dari x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0 yang berpusat di (-1,2) adalah :
⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r2⇒ (x + 1)2 + (y − 2)2 = √22
⇒ (x + 1)2 + (y − 2)2 = 2
Sekarang lihat persamaan garis pada soal.
⇒ y = 4 - x
⇒ gradien, m1 = -1
Ingat jika ada dua garis yang saling tegak lurus, maka hasil kali gradien kedua garis itu adalah -1. Karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis y = 4 - x, maka gradien garis singgung tersebut adalah :
⇒ m1.m2 = -1
⇒ m2 = -1/m1
⇒ m2 = -1⁄-1
⇒ m2 = 1.
Sekarang ingat tadi P(a,b) = (-1,2), dan gradien m = 1.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
⇒ y − b = m(x − a) ± r √1 + m2
⇒ y − 2 = 1(x + 1) ± √2.√1 + 1
⇒ y − 2 = x + 1 ± 2
Uraikan tanda plus minusnya.
⇒ y − 2 = x + 1 + 2
⇒ y − 2 = x + 3
⇒ y = x + 5
Atau :
⇒ y − 2 = x + 1 − 2
⇒ y − 2 = x − 1
⇒ y = x + 1Jawaban : B - Jika lingkaran (x − 2)2 + (y − 1)2 = 2 memotong garis y = 2, maka persamaan garis singgung di titik potong lingkaran dan garis y = 2 adalah ....
A. x + y − 5 = 0 D. x + y + 1 = 0 B. x + y + 5 = 0 E. x + y − 1 = 0 C. x − y + 5 = 0
Pembahasan :
Substitusi nilai y = 2 ke persamaan lingkaran untuk menentukan titik potong.
⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 2
⇒ (x − 2)2 + (2 − 1)2 = 2
⇒ (x − 2)2 + 1 = 2
⇒ (x − 2)2 = 1
⇒ x = 3 atau x = 1
Jadi titik potongnya adalah (3,2) dan (1,2).
Selanjutnya kita ubah pesamaan lingkaranya ke bentuk umum x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0, sebagai berikut :
⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 2
⇒ x2 − 4x + 4 + y2 − 2y + 1 = 2
⇒ x2 + y2 − 4x − 2y + 3 = 0
Dik : a = ½(-4) = -2, b = ½(-2) = -1, c = 3
Persamaan garis singgung lingkaran untuk x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 dapat ditentukan dengan rumus :x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0
Karena ada dua titik, maka kita coba keduanya.
Untuk titik (3,2)
⇒ 3x + 2y + (-2)(3 + x) + (-1)(2 + y) + 3 = 0
⇒ 3x + 2y − 6 − 2x − 2 − y + 3 = 0
⇒ x + y − 5 = 0
Untuk titik (1,2)
⇒ x + 2y + (-2)(1 + x) + (-1)(2 + y) + 3 = 0
⇒ x + 2y − 2 − 2x − 2 − y + 3 = 0
⇒ -x + y − 1 = 0
⇒ x − y + 1 = 0Jawaban : A - Diketahui suatu lingkaran dengan pusat berada pada kurva y = √x dan melalui titik asal O(0,0). Jika absis titik pusat lingkaran tersebut adalah a, maka persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik O adalah ....
A. y = -x D. y = -2x√a B. y = -x√a E. y = -2ax C. y = -ax
Pembahasan :
Karena absis pusat adalah a dan sumbu y = √x, maka P(a,√a).
Jari-jari lingkaran :
⇒ r = √x2 + y2
⇒ r = √a2 + (√a)2
⇒ r = √a2 + a
Persamaan umum lingkaran :
⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r2
⇒ (x − a)2 + (y − √a)2 = (√a2 + a)2
Persamaan garis singgungnya dapat dihitung dengan rumus :(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
Berdasarkan rumus di atas :
Telah kita peroleh a = a, b = √a
⇒ (x1 − a)(x − a) + (y1 − √a)(y − √a) = a2 + a
Karena melalui titik (0,0) maka x1 = 0, y1 = 0.
⇒ (0 − a)(x − a) + (0 − √a)(y − √a) = a2 + a
⇒ -ax + a2 − √a y + a = a2 + a
⇒ -ax − √a y = 0 ⇒ -√ay = ax
⇒ y = ax⁄-√a x = -x√aJawaban : B
Tags:
matematika
