Contoh Aplikasi Aturan Sinus untuk Menentukan Sudut Segitiga

Selain digunakan untuk menentukan panjang sisi segitiga yang tidak diketahui, aturan sinus juga dapat digunakan untuk menentukan besar sudut pada segitiga. Kita dapat menentukan besar salah satu sudut segitiga berdasarkan hubungan perbandingan antara panjang sisi segitiga dengan nilai sinus sudut di hadapannya. Tentu saja untuk mengetahui besar sudut segitiga harus ada unsur yang diketahui nilainya. Untuk menentukan besar sudut segitiga dengan aturan sinus, setidaknya harus ada tiga unsur yang diketahui yaitu dua sisi dan satu sudut. Lalu bagaimana cara menentukan besar sudut dengan aturan sinus? Pada kesempatan ini, si Jeger akan membahas beberapa kondisi yang mungkin untuk menentukan besar sudut dengan aturan sinus.

Aturan sinus hanya dapat digunakan untuk menentukan besar sudut segitiga jika ada dua sisi dan satu sudut yang diketahui (sisi, sisi, sudut). Jika ada dua sudut yang diketahui, maka tidak perlu menggunakan aturan sinus karena bisa ditentukan dengan perhitungan sederhana.

Karena pada segitiga ada dua kelompok unsur yaitu tiga buah sisi dan tiga buah sudut, maka dalam segitiga ABC ada beberapa kemungkinan susunan unsur yang diketahui, yaitu:
1. Panjang a, panjang b, dan sudut A = a-b-A
2. Panjang a, panjang b, dan sudut B = a-b-B
3. Panjang a, panjang c, dan sudut A = a-c-A
4. Panjang a, panjang c, dan sudut C = a-c-C
5. Panjang b, panjang c, dan sudut B = b-c-B
6. Panjang b, panjang c, dan sudut C = b-c-C

#1 Aturan Sinus Jika diketahui a-b-A

Jika pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a, panjang sisi b, dan besar sudut A, maka besar sudut B dapat dihitung menggunakan rumus yang diturunkan dari aturan sinus sebagai berikut:

⇒	a	=	b
	sin A		sin B

⇒ sin B =	b sin A
	a

Dengan demikian, besar sudut B dapat dihitung dengan rumus:

sin B = b sin A a

Keterangan :
B = sudut yang tidak diketahui atau ditanya
A = besar sudut di hadapan sisi a
a, b = sisi yang diketahui panjangnya

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC, diketahui panjang sisi a dalah 8 cm dan panjang sisi b adalah 6 cm. Jika besar sudut di hadapan sisi a adalah 42^o, maka tentukanlah besar sudut di hadapan sisi b.

Pembahasan :
Dik : a = 8 cm, b = 6 cm, A = 42^o
Dit : B = ... ?

Berdasarkan aturan sinus:

⇒ sin B =	b sin A
	a

⇒ sin B =	6 sin 42o
	8

⇒ sin B =	4,01
	8

⇒ sin B = ½
⇒ B = 30^o

Jadi, besar sudut di hadapan sisi b adalah 30^o.

#2 Aturan Sinus Jika diketahui a-b-B

Jika pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a, panjang sisi b, dan besar sudut B, maka besar sudut A dapat dihitung menggunakan rumus yang diturunkan dari aturan sinus sebagai berikut:

⇒	a	=	b
	sin A		sin B

⇒ sin A =	a sin B
	b

Dengan demikian, besar sudut A dapat dihitung dengan rumus:

sin A = a sin B b

Keterangan :
A = sudut yang tidak diketahui atau ditanya
B = besar sudut di hadapan sisi b
a, b = sisi yang diketahui panjangnya

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC, diketahui panjang sisi a dalah 4 cm dan panjang sisi b adalah 6 cm. Jika besar sudut B adalah 64^o, maka tentukanlah besar sudut di hadapan sisi a.

Pembahasan :
Dik : a = 4 cm, b = 6 cm, B = 64^o
Dit : A = ... ?

Berdasarkan aturan sinus:

⇒ sin A =	a sin B
	b

⇒ sin A =	4 sin 64o
	6

⇒ sin A =	3,59
	6

⇒ sin A = 0,6
⇒ A = 37^o

Jadi, besar sudut di hadapan sisi a adalah 37^o.

#3 Aturan Sinus Jika diketahui a-c-A

Jika pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a, panjang sisi c, dan besar sudut A, maka besar sudut C dapat dihitung menggunakan rumus yang diturunkan dari aturan sinus sebagai berikut:

⇒	a	=	c
	sin A		sin C

⇒ sin C =	c sin A
	a

Dengan demikian, besar sudut C dapat dihitung dengan rumus:

sin C = c sin A a

Keterangan :
C = sudut yang tidak diketahui atau ditanya
A = besar sudut di hadapan sisi a
a, c = sisi yang diketahui panjangnya

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC, diketahui panjang sisi a dalah 8 cm dan panjang sisi c adalah 4 cm. Jika besar sudut A adalah 81^o, maka tentukanlah besar sudut C.

Pembahasan :
Dik : a = 8 cm, c = 4 cm, A = 81^o
Dit : C = ... ?

Berdasarkan aturan sinus:

⇒ sin C =	c sin A
	a

⇒ sin C =	4 sin 81o
	8

⇒ sin C =	3,95
	8

⇒ sin C = 0,49 ≈ 0,5
⇒ C = 30^o

Jadi, besar sudut C adalah 30^o.

#4 Aturan Sinus Jika diketahui a-c-C

Jika pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a, panjang sisi c, dan besar sudut C, maka besar sudut A dapat dihitung menggunakan rumus yang diturunkan dari aturan sinus sebagai berikut:

⇒	a	=	c
	sin A		sin C

⇒ sin A =	a sin C
	c

Dengan demikian, besar sudut A dapat dihitung dengan rumus:

sin A = a sin C c

Keterangan :
A = sudut yang tidak diketahui atau ditanya
C = besar sudut di hadapan sisi c
a, c = sisi yang diketahui panjangnya

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC, diketahui panjang sisi a dalah 12 cm dan panjang sisi c adalah 14 cm. Jika besar sudut C adalah 62^o, maka tentukanlah besar sudut di hadapan sisi b.

Pembahasan :
Dik : a = 12 cm, c = 14 cm, C = 62^o
Dit : B = ... ?

Berdasarkan aturan sinus:

⇒ sin A =	a sin C
	c

⇒ sin A =	12 sin 62o
	14

⇒ sin A =	10,59
	14

⇒ sin A = 0,75
⇒ A = 49^o

Karena jumlah sudut dalam segitiga adalah 180^o, maka :
⇒ B = 180^o − (A + C)
⇒ B = 180^o − (49^o + 62^o)
⇒ B = 180^o − 111^o
⇒ B = 69^o

Jadi, besar sudut di hadapan sisi b adalah 69^o.

#5 Aturan Sinus Jika diketahui b-c-B

Jika pada segitiga ABC diketahui panjang sisi b, panjang sisi c, dan besar sudut B, maka besar sudut C dapat dihitung menggunakan rumus yang diturunkan dari aturan sinus sebagai berikut:

⇒	c	=	b
	sin C		sin B

⇒ sin C =	c sin B
	b

Dengan demikian, besar sudut A dapat dihitung dengan rumus:

sin C = c sin B b

Keterangan :
C = sudut yang tidak diketahui atau ditanya
B = besar sudut di hadapan sisi b
b, c = sisi yang diketahui panjangnya

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC, diketahui besar sudut B adalah 54^o. Jika panjang sisi b dalah 10 cm dan panjang sisi c adalah 7 cm, maka tentukanlah besar sudut C.

Pembahasan :
Dik : b = 10 cm, c = 7 cm, B = 54^o
Dit : C = ... ?

Berdasarkan aturan sinus:

⇒ sin C =	c sin B
	b

⇒ sin C =	7 sin 54o
	10

⇒ sin C =	5,66
	10

⇒ sin C = 0,56
⇒ C = 34^o

Jadi, besar sudut C pada segitiga itu adalah 34^o.

#6 Aturan Sinus Jika diketahui b-c-C

Jika pada segitiga ABC diketahui panjang sisi b, panjang sisi c, dan besar sudut C, maka besar sudut B dapat dihitung menggunakan rumus yang diturunkan dari aturan sinus sebagai berikut:

⇒	b	=	c
	sin B		sin C

⇒ sin B =	b sin C
	c

Dengan demikian, besar sudut A dapat dihitung dengan rumus:

sin B = b sin C c

Keterangan :
B = sudut yang tidak diketahui atau ditanya
C = besar sudut di hadapan sisi c
b, c = sisi yang diketahui panjangnya

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC, diketahui panjang sisi b dalah 5 cm dan panjang sisi c adalah 9 cm. Jika besar sudut C adalah 70^o, maka tentukanlah besar sudut di hadapan sisi a.

Pembahasan :
Dik : b = 5 cm, c = 9 cm, C = 70^o
Dit : A = ... ?

Berdasarkan aturan sinus:

⇒ sin B =	b sin C
	c

⇒ sin B =	5 sin 70o
	9

⇒ sin B =	4,698
	9

⇒ sin B = 0,52
⇒ B = 31^o

Karena jumlah sudut dalam segitiga adalah 180^o, maka :
⇒ A = 180^o − (B + C)
⇒ A = 180^o − (31^o + 70^o)
⇒ A = 180^o − 101^o
⇒ A = 79^o

Jadi, besar sudut di hadapan sisi a adalah 79^o.