Contoh Cara Mencari Akar Persamaan Kuadrat dengan Kuadrat Sempurna
Selain metode pemfaktoran, salah satu cara yang dapat kita gunakan untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna. Bilangan kuadrat sempurna merupakan bilangan yang jika diakarkan akan menghasilkan bilangan asli. (x + 2)2, (2x − 5)2, dan (3x)2 merupakan contoh bentuk kuadrat sempurna. Secara umum, bentuk tersebut dapat ditulis menjadi (a + b)2. Prinsip penggunaan metode ini adalah memanipulasi secara aljabar persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Manipulasi dapat dilakukan dengan cara menambah atau mengurangi bagian suku tetapan dalam persamaan kuadrat.
Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Berikut langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna :
- Ubah persamaan kuadrat ke dalam bentuk kuadrat sempurnaMelalui proses melengkapkan kuadrat sempurna, kita dapat memanipulasi persamaan kuadrat menjadi bentuk berikut ini :Baca Juga
(x + p)2 = q, dengan q ≥ 0
Adapun cara memanipulasi persamaan kuadrat menjadi bentuk di atas, kita dapat menggunakan rumus berikut :x2 + (b⁄a)x + (b⁄2a)2 = (b⁄2a)2 − c⁄a - Tentukan akar-akar persamaan terakhirSetelah bentuk (x + p)2 = q diperpleh, maka tentukanlah akar-akarnya. Adapun akar dari persamaan tersebut adalah :
(x + p) = ±√q, atau x = -p ±√q
Contoh Soal :
Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, tentukanlah akar-akar dari persamaan berikut ini :
Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, tentukanlah akar-akar dari persamaan berikut ini :
- x2 − 2x − 2 = 0
- x2 − 6x − 7 = 0
- x2 − 8x + 7 = 0
- 2x2 − 12x − 32 = 0
- 2x2 − 5x + 3 = 0
- x2 − 2x − 2 = 0Dik : a = 1, b = -2, c = -2
Ubah menjadi :
⇒ x2 + (b⁄a)x + (b⁄2a)2 = (b⁄2a)2 − c⁄a
⇒ x2 − 2x + (-2⁄2)2 = (-2⁄2)2 + 2
⇒ x2 − 2x + 1 = 1 + 2
⇒ x2 − 2x + 1 = 3
⇒ (x − 1)2 = 3
⇒ x − 1 = ±√3⇒ x = 1 + √3 atau x = 1 − √3 - x2 − 6x − 7 = 0 Dik : a = 1, b = -6, c = -7⇒ x = 3 + 4 = 7 atau x = 3 − 4 = -1.
Ubah menjadi :
⇒ x2 + (b⁄a)x + (b⁄2a)2 = (b⁄2a)2 − c⁄a
⇒ x2 − 6x + (-6⁄2)2 = (-6⁄2)2 + 7
⇒ x2 − 6x + 9 = 9 + 7
⇒ x2 − 6x + 9 = 16
⇒ (x − 3)2 = 16
⇒ x − 3 = ±√16 - x2 − 8x + 7 = 0 Dik : a = 1, b = -8, c = 7⇒ x = 4 + 3 = 7 atau x = 4 − 3 = 1.
Ubah menjadi :
⇒ x2 + (b⁄a)x + (b⁄2a)2 = (b⁄2a)2 − c⁄a
⇒ x2 − 8x + (-8⁄2)2 = (-8⁄2)2 − 7
⇒ x2 − 8x + 16 = 16 − 7
⇒ x2 − 8x + 16 = 9
⇒ (x − 4)2 = 9
⇒ x − 4 = ±√9 - 2x2 − 12x − 32 = 0 Dik : a = 2, b = -12, c = -32⇒ x = 3 + 5 = 8 atau x = 3 − 5 = -2.
Ubah menjadi :
⇒ x2 + (b⁄a)x + (b⁄2a)2 = (b⁄2a)2 − c⁄a
⇒ x2 + (-12⁄2)x + (-12⁄4)2 = (-12⁄4)2 − (-32⁄2)
⇒ x2 − 6x + 9 = 9 + 16
⇒ x2 − 6x + 9 = 25
⇒ (x − 3)2 = 25
⇒ x − 3 = ±√25 - 2x2 − 5x + 3 = 0 Dik : a = 2, b = -5, c = 3⇒ x = 5⁄4 + ¼ = 6⁄4 atau x = 5⁄4 − ¼ = 1.
Ubah menjadi :
⇒ x2 + (b⁄a)x + (b⁄2a)2 = (b⁄2a)2 − c⁄a
⇒ x2 + (-5⁄2)x + (-5⁄4)2 = (-5⁄4)2 − (3⁄2)
⇒ x2 − 5⁄2x + 25⁄16 = 25⁄16 − 3⁄2
⇒ x2 − 5⁄2x + 25⁄16 = 1⁄16
⇒ (x − 5⁄4)2 = 1⁄16
⇒ x − 5⁄4 = ±¼
Tags:
matematika
