Soal Pilihan Ganda Barisan dan Deret Aritmatika

BAGIAN I - Menentukan Suku ke  n

Contoh 1 : Suku Pertama dan Beda Diketahui Jika suku pertama suatu barisan aritmatika sama dengan 40 dan beda barisan tersebut adalah 5, maka suku ke-10 barisan tersebut sama dengan .....
A. U₁₀ = 100
B. U₁₀ = 85
C. U₁₀ = 80
D. U₁₀ = 75
E. U₁₀ = 70

Pembahasan :
Dik : a = 40, b = 5
Dit : U₁₀ = .... ?

Sesuai dengan konsep barisan aritmatika, hubungan antara suku pertama, beda barisan, dan suku ke-n dinyatakan dengan rumus berikut :
⇒ Un = a + (n - 1)b

Karena a, b, dan n sudah diketahui, maka diperoleh :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ U₁₀ = 40 + (10 - 1)5
⇒ U₁₀ = 40 + 9.5
⇒ U₁₀ = 40 + 45
⇒ U₁₀ = 85

Jadi, suku kesepuluh barisan tersebut adalah 85.

Contoh 2 : Dua Suku Sebarang Diketahui

Jika suku keempat dan suku kesembilan suatu barisan aritmatika adalah 14 dan 29, maka suku ke-100 barisan tersebut adalah ....
A. U₁₀₀ = 306
B. U₁₀₀ = 302
C. U₁₀₀ = 300
D. U₁₀₀ = 284
E. U₁₀₀ = 268

Pembahasan :
Dik : U₄ = 14, U₉ = 29
Dit : U₁₀₀ = .... ?

Persamaan untuk suku keempat :
⇒ U₄ =  14
⇒ a + (4 - 1)b = 14
⇒ a + 3b = 14
⇒ a = 14 - 3b .... (1)

Persamaan untuk suku kesembilan :
⇒ U₉ =  29
⇒ a + (9 - 1)b = 29
⇒ a + 8b = 29 .... (2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
⇒ a + 8b = 29
⇒ (14 - 3b) + 8b = 29
⇒ 14 + 5b = 29
⇒ 5b = 29 - 14
⇒ 5b = 15
⇒ b = 3

Substitusi nilai b ke persamaan (1) :
⇒ a = 14 - 3b
⇒ a = 14 - 3.3
⇒ a = 14 - 9
⇒ a = 5

Suku ke-100 barisan tersebut :
⇒ U₁₀₀ = a + (100 - 1)b
⇒ U₁₀₀ = a + 99b
⇒ U₁₀₀ = 5 + 99(3)
⇒ U₁₀₀ = 5 + 297
⇒ U₁₀₀ = 302

Jadi, suku ke-100 barisan tersebut adalah 302.

Contoh 3 : Jumlah n Suku Pertama Diketahui

Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 2n² + 5n, maka suku ke-4 deret tersebut adalah ....
A. U₄ = 46
B. U₄ = 32
C. U₄ = 24
D. U₄ = 19
E. U₄ = 15

Pembahasan :
Dik : Sn = 2n² + 5n
Dit : U₄ = ... ?

Suku pertama deret tersebut sama dengan jumlah 1 suku pertamanya :
⇒ a = U₁ = S₁
⇒ a = 2(1)² + 5(1)
⇒ a = 2 + 5
⇒ a = 7

Jumlah 2 suku pertama (a + U₂) adalah sebagai berikut :
⇒ a + U₂ = S₂
⇒ 7 + U₂ = 2(2)² + 5(2)
⇒ 7 + U₂ = 8 + 10
⇒ 7 + U₂ = 18
⇒ U₂ = 18 - 7
⇒ U₂ = 11

Karena a dan U₂ diketahui, maka beda barisa tersebut adalah :
⇒ b = U₂  - a
⇒ b = 11 - 7
⇒ b = 4

Dengan demikian, suku keempatnya adalah :
⇒ U₄ = a + (4 - 1)b
⇒ U₄ = a + 3b
⇒ U₄ = 7 + 3.4
⇒ U₄ = 7 + 12
⇒ U₄ = 19

Jadi, suku keempat deret tersebut adalah 19.

Contoh 4 : Suku Pasangan Terbalik Diketahui

Jumlah 12 suku pertama suatu deret aritmatika adalah 1.230. Jika suku kesepuluh deret tersebut adalah 155, maka suku ketiga deret itu sama dengan ....
A. U₃ = 50
B. U₃ = 65
C. U₃ = 70
D. U₃ = 80
E. U₃ = 95

Pembahasan :
Dik : n = 12, Sn = 1.230, U₁₀ =155
Dit : U₃ = .... ?

Rumus jumlah n suku pertama diperoleh dengan cara menjumlahkan suku barisan aritmatika awal dengan suku urutan terbalik deret tersebut. Dalam hal ini (jika jumlah sukunya 12), maka suku pertama dijumlahkan dengan suku terkahir, suku kedua dijumlahkan dengan suku ke-11, dan suku ketiga dijumlahkan dengan suku ke-10.

Masud suku 'terbalik' disini adalah urutan suku yang dibalik :
Urutan awal     : U₁,   U₂,   U₃,  U₄, U₅, U₆, U₇, U₈, U₉, U₁₀, U₁₁, U₁₂
Urutan terbalik : U₁₂, U₁₁, U₁₀, U₉, U₈, U₇, U₆, U₅, U₄, U₃,  U₂,   U₁

Jika dinyatakan dalam a dan Un, maka rumus jumlah n suku pertama ditulis :
⇒ Sn = ⁿ/₂ (a + Un)

Pada soal ini, yang dimaksud suku pertama adalah U₁ dan suku terakhir adalah U₁₂. Jika nomor suku tersebut dijumlahkan (1 + 12 = 13), maka akan diperoleh nilai 13. Nah, jika nomor suku ke-3 dan suku ke-10 dijumlahkan (3 + 10 = 13), maka juga dihasilkan nilai 13.

Jika dijumlahkan, jumlah suku pertama dan suku terakhir (a + Un) akan sama hasilnya dengan jumlah suku ketiga dan suku kesepuluh (U₃ + U₁₀), dengan demikian berlaku :
⇒ a + Un = U₃ + U₁₀

Dengan demikian, rumus jumlah n suku pertama di atas, dapat kita ubah menjadi :
⇒ Sn = ⁿ/₂ (U₃ + U₁₀)
⇒ 1.230 = ¹²/₂ (U₃ + 155)
⇒ 1.230 = 6 (U₃ + 155)
⇒ 1.230 = 6U₃ + 930
⇒ 6U₃ = 1.230 - 930
⇒ 6U₃ = 300
⇒ U₃ = 50

Jadi, suku ketiga deret tersebut adalah 50.

Contoh 5 : Diketahui Beberapa Suku

Diberikan sebuah barisan aritmatika sebagai berikut : 30, 28, 26, 24, .... Suku ke-50 barisan tersebut adalah .....
A. U₅₀ = -68
B. U₅₀ = -64
C. U₅₀ = -24
D. U₅₀ = 24
E. U₅₀ = 64

Pembahasan :
Dik : a = 30, b = 28 - 30 = -2
Dit : U₅₀ = .... ?

Sesuai dengan rumus menentukan suku ke-n, maka :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ U₅₀ = 30 + (50 - 1)(-2)
⇒ U₅₀ = 30 + 49(-2)
⇒ U₅₀ = 30 - 98
⇒ U₅₀ = -68

Jadi, suku kelimapuluh barisan tersebut adalah -68.


Contoh 1: Beda dan Suku Pertama Diketahui Suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 40. Jika selisih antara setiap dua suku yang berurutan (berdekatan) adalah 6, maka rumus suku ke-n barisan tersebut dalam variabel n adalah ....
A. Un = 6n + 34
B. Un = 6n + 46
C. Un = 4n + 46
D. Un = 4n + 34
E. Un = 6n - 34

Pembahasan :
Dik : a = 40, b = 6
Dit : Un = .... ?

Sesuai dengan konsep barisan aritmatika, hubungan antara suku pertama, beda, dan suku ke-n dapat dinyatakan dengan rumus berikut :
⇒ Un = a + (n - 1)b

Jika nilai a dan b disubstitusi, maka kita peroleh persamaan :
⇒ Un = 40 + (n - 1)6
⇒ Un = 40 + 6n - 6
⇒ Un = 6n + 40 - 6
⇒ Un = 6n + 34

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 6n + 34.

Contoh 2 : Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn) Diketahui

Jika rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 5n² - 7n, maka rumus suku ke-n deret tersebut sama dengan .....
A. Un = 10n + 12
B. Un = 10n − 12
C. Un = 10n + 2
D. Un = 10n − 2
E. Un = 10n − 1

Pembahasan :
Dik : Sn = 5n² - 7n
Dit : Un = .... ?

Sesuai dengan konsep barisan aritmatika yang telah dibahas pada artikel sebelumnya, hubungan antara suku ke-n dengan jumlah n suku pertama dan jumlah n-1 suku pertama adalah sebagai berikut :
⇒ Un = Sn − S_n-1

Jumlah n-1 suku pertama (S_n-1) diperoleh dengan mensubstitusi n = n - 1 ke rumus Sn yang diberikan dalam soal sebagai berikut :
⇒ S_n-1 = 5(n - 1)² - 7(n - 1)
⇒ S_n-1 = 5(n² - 2n + 1) - 7n + 7
⇒ S_n-1 = 5n² - 10n + 5 - 7n + 7
⇒ S_n-1 = 5n² - 17n + 12

Rumus suku ke-n :
⇒ Un = Sn − S_n-1
⇒ Un = 5n² - 7n − (5n² - 17n + 12)
⇒ Un = 5n² − 5n² - 7n + 17n − 12
⇒ Un = 10n − 12

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah 10n - 12.

Contoh 3 : Jumlah n Suku Pertama Diketahui

Sebuah deret aritmatika terdiri dari 5 suku. Jika jumlah deret tersebut adalah 50 dan suku pertama adalah 2, maka rumus suku ke-n deret tersebut dalam variabel n adalah ....
A. Un = 4n + 6
B. Un = 4n  + 4
C. Un = 4n + 2
D. Un = 4n - 2
E. Un = 4n - 6

Pembahasan :
Dik : n = 5, a = 2, Sn = 50
Dit : Un = .... ?

Berdasarkan rumus jumlah n suku pertama, hubungan antara banyak suku, suku pertama, dan beda dapat dinyatakan sebagai berikut :
⇒ Sn = ⁿ/₂ {2a + (n - 1)b}

Dengan rumus tersebut, kita dapat menentukan beda barisan :
⇒ 50 = ⁵/₂ {2.2 + (5 - 1)b}
⇒ 50 = ⁵/₂ (4 + 4b)
⇒ 100 = 5(4 + 4b)
⇒ 100 = 20 + 20b
⇒ 100 - 20 = 20b
⇒ 20b = 80
⇒ b = 4

Karena nilai a dan b sudah diketahui, maka rumus suku ke-n menjadi:
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 2 + (n - 1)4
⇒ Un = 2 + 4n - 4
⇒ Un = 4n - 2

Jadi, rumus suku ke-n deret tersebut adalah 4n - 2.

Contoh 4 : Diketahui Dua Suku Sebarang

Diketahui suku keempat dan suku kesepuluh suatu barisan aritmatika adalah 11 dan 29. Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah ....
A. Un = 3n - 1
B. Un = 3n + 1
C. Un = 3n + 5
D. Un = 3n - 5
E. Un = 3n + 3

Pembahasan :
Dik : U₄ = 11, U₁₀ = 29
Dit : Un = ... ?

Persamaan untuk suku keempat :
⇒ U₄ = 11
⇒ a + 3b = 11
⇒ a = 11 - 3b .... (1)

Persamaan untuk suku kesepuluh :
⇒ U₁₀ = 29
⇒ a + 9b = 29 ... (2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
⇒ a + 9b = 29
⇒ (11 - 3b) + 9b = 29
⇒ 11 + 6b = 29
⇒ 6b = 29 - 11
⇒ 6b = 18
⇒ b = 3

Substitusi nilai b = 3 ke persamaan (1)
⇒ a = 11 - 3b
⇒ a = 11 - 3.3
⇒ a = 11 - 9
⇒ a = 2

Nilai a dan b sudah diperoleh, maka rumus suku ke-n menjadi :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 2 + (n - 1)3
⇒ Un = 2 + 3n - 3
⇒ Un = 3n - 1

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 3n - 1.

Contoh 5 : Diketahui Beberapa Suku

Diketahui suatu barisan aritmatika : 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, .... Rumus suku ke-n barisan tersebut dalam variabel n adalah .....
A. Un = 4n + 18
B. Un = 4n + 10
C. Un = 4n + 8
D. Un = 4n - 10
E. Un = 4n + 18

Pembahasan :
Dik : a = 14, b = 18 - 14 = 4
Dit : Un = ... ?

Karena a dan b sudah diketahui, maka :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 14 + (n - 1)4
⇒ Un = 14 + 4n - 4
⇒ Un = 4n + 10

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 4n + 10.