Soal SBMPTN dan Pembahasan Pertaksamaan Nilai Mutlak

|x - 2| ≥ √2x + 20 adalah ....

-∞ < x ≤ -2 atau 2 ≤ x < 10 -∞ < x ≤ -2 atau 2 ≤ x < ∞ -∞ < x ≤ -2 atau 8 ≤ x < ∞ -10 < x ≤ 2 atau 8 ≤ x < ∞ -10 < x ≤ -2 atau 8 ≤ x < ∞

Pembahasan :
Syarat pertama yang harus kita tinjau adalah syarat dalam akar yaitu untuk √2x + 20. Agar bernilai real dan dapat dinyatakan, maka syarat dalam akar adalah :
⇒ 2x + 20 ≥ 0
⇒ 2x ≥ -20
⇒ x ≥ -10

Selanjutnya kita cari nilai x yang membuat persamaan menjadi bernilai nol.
Untuk |x - 2| > 0
⇒ |x - 2| ≥ √2x + 20
⇒ x - 2 ≥ √2x + 20
⇒ (x - 2)² ≥2x + 20
⇒ x² - 4x + 4 ≥ 2x + 20
⇒ x² - 6x - 16 ≥ 0
⇒ (x - 8)(x + 2) ≥ 0
⇒ x = 8 atau x = -2

Untuk pertidaksamaan, maka kita gunakan nilai uji dan garis bilangan. Karena nilai x pembuat nol adalah -2 atau 8, maka nilai uji yang dapat kita gunakan antara lain x = -3, x = 0, dan x = 9.

Karena pertidaksamaannya lebih besar sama dengan (≥), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang menghasilkan nilai lebih dari nol. Dengan demikian penyelesaiannya adalah :
⇒ HP = {x| -∞ < x ≤ -2 atau 8 ≤ x < ∞}

Untuk |x - 2| < 0
⇒ |x - 2| ≥ √2x + 20
⇒ -(x - 2) ≥ √2x + 20
⇒ {-(x - 2)}² ≥2x + 20
⇒ x² - 4x + 4 ≥ 2x + 20
⇒ x² - 6x - 16 ≥ 0
⇒ (x - 8)(x + 2) ≥ 0

⇒ x = 8 atau x = -2.
Karena sama dengan persamaan sebelumnya, maka penyelesaiannya juga sama yaitu :
⇒ HP = {x| -∞ < x ≤ -2 atau 8 ≤ x < ∞}

Karena berdasarkan syarat akar, nilai x harus lebih besar dari -10, maka nilai x > -∞ tidak memenuhi karena sudah dibatasi sampai -10 saja. Dengan demikian, nilai-nilai x yang memenuhi penyelesaian dan syarat akar di atas adalah :
⇒ -10 < x ≤ 2 atau 8 ≤ x < ∞

Pembahasan :
Ingat konsep pertidaksamaan mutlak berikut ini :

Berdasarkan konsep tersebut
⇒ |x² - 2|  ≤ 1
⇒ -1 ≤ x² - 2 ≤ 1
⇒ 1 ≤ x² ≤ 3
⇒ x = ±1 atau x = ±√3

Selanjutnya untuk menentukan tanda pertidaksamaannya.
Untuk x = ±1
Kita gunakan nilai uji x = -2, x = 0, x = 2

Nilai uji	Substitusi	Hasil
x = -2	(-2)2 - 2 = 2	> 0
x = 0	02 - 2 = -2	< 0
x = 2	22 - 2 = 2	> 0

Karena pertidaksamaannya lebih besar sama dengan (perhatikan x² - 2 ≥ -1), maka yang memenuhi adalah nilai uji yang menghasilkan nilai lebih besar dari nol. Nilai x = 2 > -1 sedangkan nilai x = -2 < -1. Dengan demikian :

⇒ HP = {x| x ≥ 1 atau x ≤ -1} ......(1)

Untuk x = ±√3,
Kita gunakan nilai uji x = -2, x = 0, x = 2

Nilai uji	Substitusi	Hasil
x = -2	(-2)2 - 2 = 2	> 0
x = 0	02 - 2 = -2	< 0
x = 2	22 - 2 = 2	> 0

Karena pertidaksamaannya lebih kecil sama dengan (perhatikan x² - 2 ≤ 1), maka yang memenuhi adalah nilai uji yang menghasilkan nilai lebih kecil dari nol. Nilai x = 0 berada di antara -√3 dan √3. Dengan demikian :
⇒ HP = {x| -√3 ≤ x ≤ -1 atau 1 ≤ x ≤ √3}

Pembahasan :
Jika ada suatu suku atau variabel yang mengandung tanda nilai mutlak, maka ada dua nilai yang harus kita selediki yaitu untuk yang lebih besar dari nol dan untuk yang kurang dari nol.

Untuk |x² - 2| > 0
⇒ |x² - 2| - 6 + 2x < 0
⇒ x² - 2 - 6 + 2x < 0
⇒ x² + 2x - 8 < 0
⇒ (x + 4)(x - 2) < 0
⇒ x = -4 atau x = 2

Untuk mengetahui penyelesaian pertidaksamaan kurang dari, maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji sebagai alat bantu. Karena nilai x patokannya adalah -4 dan 2, maka kita bisa ambil nilai uji x = -5, x = 0, dan x = 3.

Nilai uji	Substitusi	Hasil
x = -5	(-5 + 4)(-5 - 2) = 7	> 0
x = 0	(0 + 4)(0 - 2) = -8	< 0
x = 3	(3 + 4)(3 - 2) = 7	> 0

Karena pertidaksamaan pada soal adalah kurang dari (< 0), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang hasilnya negatif atau kurang dari nol. Dengan demikian himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut terletak antara -4 dan 2.
⇒ HP = {x| -4 < x < 2}

Untuk |x² - 2| < 0
⇒ |x² - 2| - 6 + 2x < 0
⇒ -(x² - 2) - 6 + 2x < 0
⇒ -x² + 2 - 6 + 2x < 0
⇒ -x² + 2x - 4 < 0
Karena a pada persamaan kuadrat -x² + 2x - 4 = 0 bernilai kurang dari nol, maka pertidaksamaan tersebut merupakan definit negatif dan akarnya imajiner karena diskriminannya negatif.

⇒ x1,2 =	-b ± √b2 - 4ac
	2a

⇒ x1,2 =	-2 ± √(2)2 - 4(-1)(-4)
	2(-1)

⇒ x1,2 =	-2 ± √-12
	-2

(Akar imajiner)

Dengan demikian, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan |x² - 2| - 6 + 2x < 0 adalah :
⇒ {x| -4 < x < 2}

Pembahasan :
Sama dengan soal nomor 1 kita tinjau masing-masing nilai yang lebih besar dari nol dan kurang dari nol untuk kemudian dilihat penyelesaian gabungannya, sebagai berikut :

Untuk |x² + 5x| > 0
⇒ |x² + 5x| ≤ 6
⇒ x² + 5x ≤ 6
⇒ x² + 5x - 6 ≤ 0
⇒ (x + 6)(x - 1) ≤ 0
⇒ x = -6 atau x = 1

Untuk mengetahui penyelesaian pertidaksamaan kurang dari sama dengan (≤), maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji sebagai alat bantu. Karena nilai x patokannya adalah -6 dan 1, maka kita bisa ambil nilai uji x = -7, x = 0, dan x = 2.

Nilai uji	Substitusi	Hasil
x = -7	(-7 + 6)(-7 - 1) = 8	> 0
x = 0	(0 + 6)(0 - 1) = -6	< 0
x = 2	(2 + 6)(2 - 1) = 8	> 0

Karena pertidaksamaan pada soal adalah kurang dari sama dengan (≤), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang hasilnya negatif atau kurang dari nol. Dengan demikian himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut terletak antara -6 dan 1.
⇒ HP = {x| -6 ≤ x ≤ 1}

Untuk |x² + 5x| < 0
⇒ |x² + 5x| ≤ 6
⇒ -(x² + 5x) ≤ 6
⇒ -x² - 5x ≤ 6
⇒ x² + 5x ≥ -6
⇒ x² + 5x + 6 ≥ 0
⇒ (x + 3)(x + 2) ≥ 0
⇒ x = -3 atau x = -2

Untuk mengetahui penyelesaian pertidaksamaan lebih dari sama dengan (≥), maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji sebagai alat bantu. Karena nilai x patokannya adalah -3 dan -2, maka kita bisa ambil nilai uji x = -4, x = -2,5 dan x = -1.

Nilai uji	Substitusi	Hasil
x = -4	(-4 + 3)(-4 + 2) = 2	> 0
x = -2,5	(-2,5 + 3)(-2,5 + 2) = -0,25	< 0
x = -1	(-1 + 3)(-1 + 2) = 2	> 0

Karena pertidaksamaan pada soal adalah lebih dari sama dengan (≥), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang hasilnya positif atau lebih dari nol. Dengan demikian himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut adalah :
⇒ HP = {x| x ≤ -3 atau x ≥ -2}

Himpunan penyelesaian gabungannya adalah :
⇒ HP = {x| -6 ≤ x ≤ -3 atau -2 ≤ x ≤ 1}

Pembahasan :
Harga mutlak |x| mengandung dua nilai yaitu x dan -x. Oleh karena itu, kita harus meninjau syarat-syarat untuk masing-masing nilai x kemudian menentukan himpunan penyelesaian gabungannya.

Untuk x > 0 (|x| = x)
⇒ x² - |x| ≤ 6
⇒ x² - x ≤ 6
⇒ x² - x - 6 ≤ 0
⇒ (x - 3)(x + 2) ≤ 0
⇒ x = 3 atau x = -2

Untuk mengetahui HP yang benar, maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan tiga titik uji yang mewakili daerah penyelesaian. Kita bisa gunakan nilai x = -3, x = 0, dan x = 4 sebagai nilai uji.

Nilai uji	Substitusi	Hasil
x = -3	(-3 - 3)(-3 + 2) = 6	> 0
x = 0	(0 - 3)(0 + 2) = -6	< 0
x = 4	(4 - 3)(4 + 2) = 6	> 0

Berdasarkan hasil uji tersebut maka himpunan penyelesaian terletak antara -2 dan 3, sehingga HP yang sesuai adalah :
⇒ -2 ≤ x ≤ 3 ....(i)

Untuk x < 0 (|x| = -x)
⇒ x² - |x| ≤ 6
⇒ x² - (-x) ≤ 6
⇒ x² + x - 6 ≤ 0
⇒ (x + 3)(x - 2) ≤ 0
⇒ x = -3 atau x = 2

Untuk mengetahui HP yang benar, maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan tiga titik uji yang mewakili daerah penyelesaian. Kita bisa gunakan nilai x = -4, x = 0, dan x = 3 sebagai nilai uji.

Nilai uji	Substitusi	Hasil
x = -4	(-4 + 3)(-4 - 2) = 6	> 0
x = 0	(0 + 3)(0 - 2) = -6	< 0
x = 3	(3 + 3)(3 - 2) = 6	> 0

Berdasarkan hasil uji tersebut maka himpunan penyelesaian terletak antara -3 dan 2, sehingga HP yang sesuai adalah :
⇒ -3 ≤ x ≤ 2 ..... (ii)
Gabungan HP (i) dan (ii) adalah :
⇒ HP = {x| -3 ≤ x ≤ 3}

Pembahasan :
Sama seperti soal nomor 1, kita harus meninjau penyelesaian untuk masing-masing nilai x terlebih dahulu baru kemudian menentukan penyelesaian gabungannya.

Untuk x > 0 (|x| = x)
⇒ ||x| + x| ≤ 2
⇒ x + x ≤ 2
⇒ 2x ≤ 2
⇒ x ≤ 1
⇒ HP = {0 ≤ x ≤ 1}....(i)

Untuk x < 0 (|x| = -x)
⇒ ||x| + x| ≤ 2
⇒ -(|x| + x) ≤ 2
⇒ -((-x) + x) ≤ 2
⇒ 0 ≤ 2
⇒ HP = {x ≤ 0}
Untuk x < 0, pertidaksamaan mutlak tersebut akan selalu bernilai benar.

Gabungan HP (i) dan (ii) adalah :
⇒ HP = {x| x ≤ 1}