Soal SBMPTN dan Pembahasan Persamaan dan Fungsi Logaritma

Soal Bagian I

1. Jika diketahui persamaan logaritma ^xlog 2 + ^xlog (3x - 4) = 2 mempunyai dua penyelesaian yaitu x₁ dan x₂, maka hasil kali akar-akarnya adalah ....

   A. x1.x2 = 8

   B. x1.x2 = 6

   C. x1.x2 = 4

   D. x1.x2 = 3

   E. x1.x2 = 2

   
   Pembahasan :
   Sifat logaritma yang kita gunakan untuk soal ini adalah :
   

   alog b + alog c = alog(b.c)

   alog ab = b

   
   
   Dengan menggunakan sifat logaritma tersebut, maka bentuk persamaan logaritma pada soal dapat kita sederhanakan menjadi :
   

   Baca Juga

   • Soal SBMPTN dan Pembahasan Organ Tumbuhan
   • Soal SBMPTN tentang Pertumbuhan dan Perkembangan
   • Soal UN dan Pembahasan tentang Persamaan Kuadrat
   • Contoh Soal Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta
   • Contoh Soal Pengertian Himpunan

   ⇒ ^xlog 2 + ^xlog (3x - 4) = 2
   ⇒ ^xlog {2(3x - 4)} = 2
   

   ⇒ ^xlog (6x - 8) = ^xlog x²
   ⇒ 6x - 8 = x²
   

   ⇒ x² - 6x + 8 = 0
   
   Bentuk sederhana di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x₁ dan x₂. Hasil kali akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat kita tentukan dengan mencari akar-akarnya terlebih dahulu atau dengan menggunakan rumus berikut :
   

   x1 . x2 = c⁄a

   
   Dari persamaan kuadrat yang kita peroleh, diketahui :
   ⇒ x² - 6x + 8 = 0
   ⇒ a = 1; b = -6; c = 8.
   
   Dengan demikian, hasil kali akar-akarnya adalah :
   ⇒ x₁ . x₂ = ^c⁄_a
   ⇒ x₁ . x₂ = ⁸⁄₁
   ⇒ x₁ . x₂ = 8
   

   Jawaban : A
   
   
2. Grafik fungsi y = log x² adalah ....
   

   Pembahasan :
   Berikut sifat logaritma yang dapat kita gunakan :
   

   alog b2 = 2. alog |b|

   
   
   Berdasarkan sifat di atas, fungsi soal dapat kita ubah menjadi :
   ⇒ y = log x²
   ⇒ y = 2 log |x|
   
   Karena basis logaritmanya 10, kita bisa menentukan beberapa titik bantu, yaitu :
   Untuk x = 1 dan x = -1
   ⇒ y = 2 log |x|
   ⇒ y = 2 log 1
   ⇒ y = 2 log 10⁰
   ⇒ y = 2 (0)
   ⇒ y = 0
   Titik (1, 0) dan (-1,0)
   
   Untuk x = 10 dan x = -10
   ⇒ y = 2 log |x|
   ⇒ y = 2 log 10
   ⇒ y = 2 (1)
   ⇒ y = 2
   Titik (10, 2) dan (-10,2)
   
   Dengan menghubungkan titik-titik bantu tersebut (seperti grafik eksponen), maka grafik fungsi y = log x² kurang lebih seperti gambar di bawah ini.
   

     Jawaban : E
   
3. Jika ⁸¹log ¹⁄_x = ^xlog ¹⁄_y = ^ylog ¹⁄₈₁, maka 2x - 3y sama dengan ....

   A. -162	D. 81
   B. -81	E. 162
   C. 0

   
   Pembahasan :
   Sifat logaritma yang kita gunakan :
   

   alog b . blog c . clog d = alog d

   
   Karena ketiga bentuk logaritma bernilai sama, maka misalkan nilainya sama dengan p. Selanjutnya kita gunakan sifat perkalian logaritma di atas untuk menentukan nilai p.
   ⇒  ⁸¹log ¹⁄_x . ^xlog ¹⁄_y . ^ylog ¹⁄₈₁ = p.p.p
   ⇒  ⁸¹log ¹⁄_x . ^xlog ¹⁄_y . ^ylog ¹⁄₈₁ = p³
   ⇒  ⁸¹log x^-1. ^xlog y^-1 . ^ylog (81)^-1 = p³
   ⇒ (-1)⁸¹log x . (-1)^xlog y . (-1)^ylog 81 = p³
   ⇒ (-1)³ (⁸¹log x . ^xlog y . ^ylog 81) = p³
   ⇒ (-1) ⁸¹log 81 = p³
   ⇒ -1 = p³
   ⇒ p = -1
   
   Karena pada soal ditanya nilai 2x - 3y, maka kita harus mencari nilai x dan y terlebih dahulu.
   Menentukan nilai x :
   ⇒ ⁸¹log ¹⁄_x = p
   ⇒ ⁸¹log ¹⁄_x = -1
   ⇒ ⁸¹log x^-1 = ⁸¹log (81)^-1
   ⇒ x^-1 = (81)^-1
   ⇒ x = 81
   
   Menentukan nilai y :
   ⇒ ^ylog ¹⁄₈₁ = p
   ⇒ ^ylog ¹⁄₈₁ = -1
   ⇒ ^ylog (81)^-1 = ^ylog y^-1
   ⇒ (81)^-1 = y^-1
   ⇒ y = 81
   
   Dengan demikian, kita peroleh :
   ⇒ 2x - 3y = 2(81) - 3(81)
   ⇒ 2x - 3y = 162 - 243
   ⇒ 2x - 3y = -81
   

   Jawaban : B

Soal Bagian II

1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ³log x + ³log (2x - 3) < 3 adalah .....

   A. {x| x > 3⁄2}

   B. {x| x > 9⁄2}

   C. {x| 0 < x < 9⁄2}

   D. {x| 3⁄2 < x < 9⁄2}

   E. {x| -3 < x < 9⁄2}

   
   Pembahasan :
   Syarat agar pertidaksamaan di atas terpenuhi adalah :
   ⇒ x > 0
   ⇒2x - 3 > 0
   
   Karena 2x - 3 > 0, maka :
   ⇒ 2x - 3 > 0
   ⇒ x > ³⁄₂ (memenuhi)
   
   Prinsip logaritma yang kita gunakan untuk menyelesaikan soal ini :
   

   alog b + alog c = alog (b.c)

   
   Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip logaritma, bentuk pertidaksamaan di atas dapat disederhanakan dan diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat sebagai berikut :
   ⇒ ³log x + ³log (2x - 3) < 3
   ⇒ ³log {x(2x - 3)} < ³log 3³
   ⇒ ³log {x(2x - 3)} < ³log 27
   ⇒ x(2x - 3) < 27
   ⇒ 2x² - 3x < 27
   ⇒ 2x² - 3x - 27 = 0
   ⇒ (2x - 9)(x + 3) < 0
   
   Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas dapat diuji dengan menggunakan garis bilangan. Karena kurang dari nol (negatif), maka diperoleh nilai x :
   ⇒ -3 < x < ⁹⁄₂
   
   Karena sebelumnya kita sudah memperoleh nilai x yang memenuhi berdasarkan syarat, yaitu x > ³⁄₂, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan ³log x + ³log (2x - 3) < 3 adalah :
   ⇒ HP = {x| ³⁄₂ < x < ⁹⁄₂}
   

   Jawaban : D

   
   
2. Diketahui persamaan sebagai berikut :
   
   10(x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)} = (x - 4)²(x + 3)²
   Jumlah semua akar persamaan tersebut adalah .....
   

   A. -2	D. 1
   B. -1	E. 2
   C. 0

   
   Pembahasan :
   Untuk menyelesaiakn soal di atas, berikut prinsip-prinsip logaritma yang dapat kita gunakan :
   

   alog (b.c) = alog b + alog c

   alog bm = m alog b

   
   
   Berdasarkan prinsip tersebut kita peroleh :
   ⇒ 10(x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)} = (x - 4)²(x + 3)²
   ⇒ log {10.(x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)}} =  log (x - 4)²(x + 3)²
   
   Gunakan rumus nomor 1 untuk menyederhanakan ruas kiri :
   ⇒ log 10 + log (x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)} =  log {(x - 4)(x + 3)}²
   ⇒ 1 + log (x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)} =  log (x² - x - 12)²
   
   Gunakan rumus nomor 2 untuk menyederhanakan kedua ruas :
   ⇒ 1 + log (x² - x - 12).log (x² - x - 12) = 2 log (x² - x - 12)
   ⇒ 1 + {log (x² - x - 12)}² - 2 log (x² - x - 12) = 0
   ⇒ 1 + log² (x² - x - 12) - 2 log (x² - x - 12) = 0
   ⇒ log² (x² - x - 12) - 2 log (x² - x - 12) + 1 = 0
   
   Perhatikan persamaan di atas! persamaan tersebut sudah berbentuk persamaan kuadrat. Untuk mempermudah perhitungan, kita misalkan :
   ⇒ log (x² - x - 12) = p
   
   Maka persamaannya menjadi :
   ⇒ p² - 2p + 1 = 0
   ⇒ (p - 1)(p - 1) 0
   ⇒ p₁ = 1 dan p₂ = 1
   
   Karena p ada dua, maka akar-akar persamaan logaritma akan ada 4 yaitu x₁, x₂, x₃ dan x₄. Untuk mengetahui jumlah akar-akarnya, kembalikan pemisalan ke bentuk semula :
   Untuk p₁ = 1
   ⇒ log (x² - x - 12) = 1
   ⇒ log (x² - x - 12) = log 10
   ⇒ x² - x - 12 = 10
   ⇒ x² - x - 22 =  0 ; diperoleh x₁ dan x₂.
   Diketahui : a = 1, b = -1, c = -22.
   
   Jumlah x₁ dan x₂ :
   ⇒ x₁ + x₂ =  ^-b⁄_a
   ⇒ x₁ + x₂ = ¹⁄₁
   ⇒ x₁ + x₂ = 1
   
   Untuk p₂ = 1, dengan cara yang sama seperti di atas, akan diperoleh x₃ dan x₄ dengan jumlah yang sama yaitu 1. Dengan demikian, jumlah seluruh akarnya adalah :
   ⇒ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 1 + 1
   ⇒ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 2
   

   Jawaban : E

   
   
3. Diketahui 2 (⁴log x)² - 2 ⁴log √x = 1. Jika akar-akar persamaan di atas adalah x₁ dan x₂ maka x₁ + x₂ sama dengan .....

   A. 5	D. 5⁄2
   B. 9⁄2	E. 9⁄4
   C. 17⁄4

   
   Pembahasan :
   ⇒ 2 (⁴log x)² - 2 ⁴log √x = 1
   ⇒ 2 (⁴log x)² - ⁴log (√x)² = 1
   ⇒ 2 (⁴log x)² - ⁴log x = 1
   ⇒ 2 (⁴log x)² - ⁴log x - 1 = 0
   
   Misalkan ⁴log x = p, maka :
   ⇒ 2p² - p - 1 = 0
   ⇒ (2p + 1)(p - 1) = 0
   ⇒ p = -½ atau p = 1
   
   Untuk p = -½, diperoleh :
   ⇒ ⁴log x = -½
   ⇒  ⁴log x = ⁴log 4^-½
   ⇒ ⁴log x = ⁴log 4^-½
   ⇒ x = 4^-½
   

   ⇒ x =	1
   	4½

   ⇒ x =	1
   	√4

   ⇒ x₁ = ½
   
   
   Untuk p = 1, diperoleh :
   ⇒ ⁴log x = 1
   ⇒  ⁴log x = ⁴log 4¹
   ⇒ ⁴log x = ⁴log 4¹
   ⇒ x = 4¹
   ⇒ x₂ = 4
   
   Dengan demikian, jumlah akar-akarnya adalah :
   ⇒ x₁ + x₂ = ½ + 4
   ⇒ x₁ + x₂ = ⁹⁄₂
   

   Jawaban : B