Soal SBMPTN dan Pembahasan Persamaan dan Fungsi Logaritma
Soal Bagian I
- Jika diketahui persamaan logaritma xlog 2 + xlog (3x - 4) = 2 mempunyai dua penyelesaian yaitu x1 dan x2, maka hasil kali akar-akarnya adalah ....
A. x1.x2 = 8 |
B. x1.x2 = 6 |
C. x1.x2 = 4 |
D. x1.x2 = 3 |
E. x1.x2 = 2 |
Pembahasan :Sifat logaritma yang kita gunakan untuk soal ini adalah :
alog b + alog c = alog(b.c) |
Dengan menggunakan sifat logaritma tersebut, maka bentuk persamaan logaritma pada soal dapat kita sederhanakan menjadi :
⇒
xlog 2 +
xlog (3x - 4) = 2
⇒
xlog {2(3x - 4)} = 2
⇒
xlog (6x - 8) =
xlog x
2⇒ 6x - 8 = x
2⇒ x
2 - 6x + 8 = 0
Bentuk sederhana di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x
1 dan x
2. Hasil kali akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat kita tentukan dengan mencari akar-akarnya terlebih dahulu atau dengan menggunakan rumus berikut :
Dari persamaan kuadrat yang kita peroleh, diketahui :
⇒ x
2 - 6x + 8 = 0
⇒ a = 1; b = -6; c = 8.
Dengan demikian, hasil kali akar-akarnya adalah :
⇒ x
1 . x
2 =
c⁄
a ⇒ x
1 . x
2 =
8⁄
1⇒ x
1 . x
2 = 8
Jawaban : A
- Grafik fungsi y = log x2 adalah ....
Berikut sifat logaritma yang dapat kita gunakan :
Berdasarkan sifat di atas, fungsi soal dapat kita ubah menjadi :
⇒ y = log x
2 ⇒ y = 2 log |x|
Karena basis logaritmanya 10, kita bisa menentukan beberapa titik bantu, yaitu :
Untuk x = 1 dan x = -1
⇒ y = 2 log |x|
⇒ y = 2 log 1
⇒ y = 2 log 10
0⇒ y = 2 (0)
⇒ y = 0
Titik (1, 0) dan (-1,0)
Untuk x = 10 dan x = -10
⇒ y = 2 log |x|
⇒ y = 2 log 10
⇒ y = 2 (1)
⇒ y = 2
Titik (10, 2) dan (-10,2)
Dengan menghubungkan titik-titik bantu tersebut (seperti grafik eksponen), maka grafik fungsi y = log x
2 kurang lebih seperti gambar di bawah ini.
Jawaban : E
- Jika 81log 1⁄x = xlog 1⁄y = ylog 1⁄81, maka 2x - 3y sama dengan ....
A. -162 | D. 81 |
B. -81 | E. 162 |
C. 0 |
|
Pembahasan :Sifat logaritma yang kita gunakan :
alog b . blog c . clog d = alog d |
Karena ketiga bentuk logaritma bernilai sama, maka misalkan nilainya sama dengan p. Selanjutnya kita gunakan sifat perkalian logaritma di atas untuk menentukan nilai p.
⇒
81log
1⁄
x .
xlog
1⁄
y .
ylog
1⁄
81 = p.p.p
⇒
81log
1⁄
x .
xlog
1⁄
y .
ylog
1⁄
81 = p
3 ⇒
81log
x
-1.
xlog y
-1 .
ylog (81)
-1 = p
3⇒ (-1)
81log
x . (-1)
xlog y . (-1)
ylog 81 = p
3 ⇒ (-1)3 (81log x . xlog y . ylog 81) = p3
⇒ (-1) 81log 81 = p3
⇒ -1 = p
3⇒ p = -1
Karena pada soal ditanya nilai 2x - 3y, maka kita harus mencari nilai x dan y terlebih dahulu.
Menentukan nilai x :
⇒
81log
1⁄
x = p
⇒
81log
1⁄
x = -1
⇒
81log
x
-1 =
81log
(81)
-1 ⇒ x
-1 = (81)
-1⇒ x = 81
Menentukan nilai y :
⇒
ylog
1⁄
81 = p
⇒
ylog
1⁄
81 = -1
⇒
ylog (81)
-1 =
ylog
y
-1⇒ (81)
-1 = y
-1⇒ y = 81
Dengan demikian, kita peroleh :
⇒ 2x - 3y = 2(81) - 3(81)
⇒ 2x - 3y = 162 - 243
⇒ 2x - 3y = -81
Jawaban : B
Soal Bagian II
- Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3log x + 3log (2x - 3) < 3 adalah .....
A. {x| x > 3⁄2} |
B. {x| x > 9⁄2} |
C. {x| 0 < x < 9⁄2} |
D. {x| 3⁄2 < x < 9⁄2} |
E. {x| -3 < x < 9⁄2} |
Pembahasan :Syarat agar pertidaksamaan di atas terpenuhi adalah :
⇒ x > 0
⇒2x - 3 > 0
Karena 2x - 3 > 0, maka :
⇒ 2x - 3 > 0
⇒ x >
3⁄
2 (memenuhi)
Prinsip logaritma yang kita gunakan untuk menyelesaikan soal ini :
alog b + alog c = alog (b.c) |
Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip logaritma, bentuk pertidaksamaan di atas dapat disederhanakan dan diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat sebagai berikut :
⇒
3log x +
3log (2x - 3) < 3
⇒
3log {x(2x - 3)} <
3log 3
3⇒
3log {x(2x - 3)} <
3log 27
⇒ x(2x - 3) < 27
⇒ 2x
2 - 3x < 27
⇒ 2x
2 - 3x - 27 = 0
⇒ (2x - 9)(x + 3) < 0
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas dapat diuji dengan menggunakan garis bilangan. Karena kurang dari nol (negatif), maka diperoleh nilai x :
⇒ -3 < x < 9⁄2
Karena sebelumnya kita sudah memperoleh nilai x yang memenuhi berdasarkan syarat, yaitu x >
3⁄
2, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan
3log x +
3log (2x - 3) < 3 adalah :
⇒ HP = {x|
3⁄
2 < x <
9⁄
2}
Jawaban : D
- Diketahui persamaan sebagai berikut :
10(x
2 - x - 12)
log(x2 - x - 12) = (x - 4)
2(x + 3)
2Jumlah semua akar persamaan tersebut adalah .....
Pembahasan :Untuk menyelesaiakn soal di atas, berikut prinsip-prinsip logaritma yang dapat kita gunakan :
alog (b.c) = alog b + alog c |
Berdasarkan prinsip tersebut kita peroleh :
⇒ 10(x2 - x - 12)log(x2 - x - 12) = (x - 4)2(x + 3)2
⇒ log {10.(x2 - x - 12)log(x2 - x - 12)} = log (x - 4)2(x + 3)2
Gunakan rumus nomor 1 untuk menyederhanakan ruas kiri :
⇒ log 10 + log (x2 - x - 12)log(x2 - x - 12) = log {(x - 4)(x + 3)}2
⇒ 1 + log (x2 - x - 12)log(x2 - x - 12) = log (x2 - x - 12)2
Gunakan rumus nomor 2 untuk menyederhanakan kedua ruas :
⇒ 1 + log (x2 - x - 12).log (x2 - x - 12) = 2 log (x2 - x - 12)
⇒ 1 + {log (x2 - x - 12)}2 - 2 log (x2 - x - 12) = 0
⇒ 1 + log2 (x2 - x - 12) - 2 log (x2 - x - 12) = 0
⇒ log2 (x2 - x - 12) - 2 log (x2 - x - 12) + 1 = 0
Perhatikan persamaan di atas! persamaan tersebut sudah berbentuk persamaan kuadrat. Untuk mempermudah perhitungan, kita misalkan :
⇒ log (x2 - x - 12) = p
Maka persamaannya menjadi :
⇒ p2 - 2p + 1 = 0
⇒ (p - 1)(p - 1) 0
⇒ p1 = 1 dan p2 = 1
Karena p ada dua, maka akar-akar persamaan logaritma akan ada 4 yaitu x1, x2, x3 dan x4. Untuk mengetahui jumlah akar-akarnya, kembalikan pemisalan ke bentuk semula :
Untuk p1 = 1
⇒ log (x2 - x - 12) = 1
⇒ log (x2 - x - 12) = log 10
⇒ x2 - x - 12 = 10
⇒ x2 - x - 22 = 0 ; diperoleh x1 dan x2.
Diketahui : a = 1, b = -1, c = -22.
Jumlah x1 dan x2 :
⇒ x1 + x2 = -b⁄a
⇒ x1 + x2 = 1⁄1
⇒ x
1 + x
2 = 1
Untuk p
2 = 1, dengan cara yang sama seperti di atas, akan diperoleh x
3 dan x
4 dengan jumlah yang sama yaitu 1. Dengan demikian, jumlah seluruh akarnya adalah :
⇒ x
1 + x
2 + x
3 + x
4 = 1 + 1
⇒ x
1 + x
2 + x
3 + x
4 = 2
Jawaban : E
- Diketahui 2 (4log x)2 - 2 4log √x = 1. Jika akar-akar persamaan di atas adalah x1 dan x2 maka x1 + x2 sama dengan .....
A. 5 | D. 5⁄2 |
B. 9⁄2 | E. 9⁄4 |
C. 17⁄4 |
|
Pembahasan :⇒ 2 (
4log x)
2 - 2
4log √
x = 1
⇒ 2 (
4log x)
2 -
4log (√
x)
2 = 1
⇒ 2 (
4log x)
2 -
4log x = 1
⇒ 2 (
4log x)
2 -
4log x - 1 = 0
Misalkan
4log x = p, maka :
⇒ 2p
2 - p - 1 = 0
⇒ (2p + 1)(p - 1) = 0
⇒ p = -½ atau p = 1
Untuk p = -½, diperoleh :
⇒
4log x = -½
⇒
4log x =
4log 4
-½⇒
4log x =
4log 4
-½⇒ x = 4
-½ ⇒ x
1 = ½
Untuk p = 1, diperoleh :
⇒ 4log x = 1
⇒ 4log x = 4log 41
⇒ 4log x = 4log 41
⇒ x = 41
⇒ x
2 = 4
Dengan demikian, jumlah akar-akarnya adalah :
⇒ x
1 + x
2 = ½ + 4
⇒ x
1 + x
2 =
9⁄
2Jawaban : B
Anda mungkin menyukai postingan ini