Soal SBMPTN dan Pembahasan Pertaksamaan Logaritma

Pembahasan :
⇒ 2 log (x - 2) ≤ log (2x - 1)
⇒ log (x - 2)² ≤ log (2x - 1)

Syarat utama yang harus kita perhatikan adalah syarat berdasarkan prinsip logaritma. Sesuai dengan konsep dasar logaritma, bilangan yang dilogaritmakan harus lebih besar dari nol. Dengan demikian kita harus tinjau syarat yang berlaku pada bilangan yang dilogaritmakan terlebih dahulu yaitu (x - 2) dan (2x - 1).

Untuk log (x - 2)
⇒ x - 2 > 0
⇒ x > 2

Untuk log (2x - 1)
⇒ 2x - 1 > 0
⇒ 2x > 1
⇒ x > ½

Berdasarkan dua syarat tersebut, maka nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut salah satunya adalah x > 2.

Selanjutnya, kita tinjau penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut.
⇒ log (x - 2)² ≤ log (2x - 1)
⇒ (x - 2)² ≤ (2x - 1)
⇒ x² - 4x + 4 ≤ 2x - 1
⇒ x² - 4x + 4 - 2x + 1 ≤ 0
⇒ x² - 6x + 5 ≤ 0
⇒ (x - 5)(x - 1) ≤ 0
⇒ x = 5 atau x = 1

Untuk melihat penyelesaian pertidaksamaannya, maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji. Karena nilai x patokan (pembuat nol) adalah 5 dan 1, maka kita dapat gunakan nilai uji x = 0, x = 3, dan x = 6.

Nilai uji	Substitusi	Hasil
x = 0	(0 - 5)(0 - 1) = 5	> 0
x = 3	(3 - 5)(3 - 1) = -4	< 0
x = 6	(6 - 5)(6 - 1) = 5	> 0

Karena yang kita cari adalah pertidaksamaan kurang dari sama dengan (≤), maka nilai uji yang memenuhi adalah nilai uji yang menghasilkan nilai negatif atau kurang dari nol. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya terletak di antara 1 dan 5.
⇒ HP = {x| 1 ≤ x ≤ 5}

Karena syarat utama berdasarkan konsep logaritma adalah x > 2, maka himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan logaritma tersebut adalah :
⇒ HP = {x| 2 < x ≤ 5}

Pembahasan :
Sama seperti soal nomor 1, kita harus melihat syarat utama logaritma dari soal tersebut.

Untuk log (x + 3)
⇒ x + 3 > 0
⇒ x > -3

Untuk log x²
⇒ x² > 0
⇒ x ≠ 0

Selanjutnya kita cari penyelesaian pertidaksamaan :
⇒ log (x + 3) + 2 log 2 > log x²
⇒ log (x + 3) + log 2² > log x²
⇒ log (x + 3) + log 4 > log x²
⇒ log 4(x + 3) > log x²
⇒ 4(x + 3) > x²
⇒ x² - 4(x + 3) < 0
⇒ x² - 4x - 12 < 0
⇒ (x - 6)(x + 2) < 0
⇒ x = 6 atau x = -2
Untuk pertidaksamaannya, maka gunakan nilai uji atau garis bilangan. Karena nilai x pembuat nol adalah -2 dan 6, maka nilai uji yang dapat kita gunakan antara lain x = -3, x = 0, dan x = 7.

Nilai uji	Substitusi	Hasil
x = -3	(-3 - 6)(-3 + 2) = 9	> 0
x = 0	(0 - 6)(0 + 2) = -12	< 0
x = 7	(7 - 6)(7 + 2) = 9	> 0

Karena yang kita cari adalah pertidaksamaan kurang dari (<), maka nilai uji yang memenuhi adalah nilai uji yang menghasilkan nilai negatif atau kurang dari nol. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya terletak di antara -2 dan 6.
⇒ HP = {x| -2 < x < 6}

Karena syarat logaritma x > -3 dan x ≠ 0, maka kita harus melihat penyelesaian gabungan dari syarat-syarat yang telah kita peroleh. Irisan dari ketiga penyelesaian tersebut adalah :
⇒ HP = {x| -2 < x < 0}∪{x| 0 < x < 6}