Beranda

Langkah Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jeger
Jeger
Posting Komentar
komentar teratas
Terbaru dulu
  1. Persamaan x2 + 3x − 2 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1⁄x1 + 2 dan 1⁄x2 + 2 adalah ....
    A. 2x2 + 11x − 13 = 0
    B. 2x2 − 11x + 13 = 0
    C. 2x2 + 11x + 13 = 0
    D. 2x2 + 13x + 11 = 0
    E. 2x2 + 13x − 11 = 0

    Pembahasan :
    Untuk mengerjakan soal seperti ini, kita dapat bergerak dari persamaan kuadrat yang diketahui terlebih dahulu. Tentukan hasil jumlah dan hasil kali akar-akarnya.
    ⇒ x2 + 3x − 2 = 0
    Diketahui : a = 1, b = 3, dan c = -2.
    Baca Juga

    Hasil jumlah akar :
    ⇒ x1 + x2 = -b
    a
    ⇒ x1 + x2 = -(3)
    1
    ⇒ x1 + x2 = -3

    Hasil kali akar :
    ⇒ x1.x2 = c
    a
    ⇒ x1.x2 = -2
    1
    ⇒ x1 . x2 = -2

    Selanjutnya kita lihat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang akan kita susun.
    Hasil jumlah akar :
    ⇒ (1⁄x1 + 2) + (1⁄x2 + 2) = 1 +1 + 4
    x1 x2
    ⇒ (1⁄x1 + 2) + (1⁄x2 + 2) = x1 + x2 + 4
    x1 . x2
    ⇒ (1⁄x1 + 2) + (1⁄x2 + 2) = -3 + 4
    -2
    ⇒ (1⁄x1 + 2) + (1⁄x2 + 2) = 11
    2

    Hasil kali akar :
    ⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) = 1 +2 +2 + 4
    x1.x2 x1 x2
    ⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) = 1 +2x1 + 2x2 + 4
    x1.x2 x1 . x2
    ⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) = 1 +2(x1 + x2) + 4
    x1.x2 x1 . x2
    ⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) = 1 +2(-3) + 4
    -2 -2
    ⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) = 1 + 7
    -2
    ⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) = 13
    2

    Jadi persamaan kuadrat barunya adalah :
    ⇒ x2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
    ⇒ x2 − (11⁄2)x + 13⁄2 = 0 
    ⇒ 2x2 − 11x + 13 = 0
    Jawaban : B

  2. Akar persamaan kuadrat x2 − 2x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (x1 + x2)2 dan (x1 − x2)2 adalah ....
    A. x2 + 8x − 48 = 0D. x2 − 6x + 42 = 0
    B. x2 − 6x − 42 = 0E. x2 − 8x − 48 = 0
    C. x2 − 8x + 48 = 0

    Pembahasan :
    ⇒ x2 − 2x + 4 = 0
    Diketahui a = 1, b = -2, dan c = 4.

    Jumlah akar :
    ⇒ x1 + x2 = -b
    a
    ⇒ x1 + x2 = -(-2)
    1
    ⇒ x1 + x2 = 2

    Hasil kali akar :
    ⇒ x1.x2 = c
    a
    ⇒ x1.x2 = 4
    1
    ⇒ x1 . x2 = 4

    Selanjutnya tinjau akar-akar persamaan kuadrat baru.
    Jumlah akar :
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = x12 + x22 + 2x1.x2 + x12 + x22 − 2x1.x2
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = 2x12 + 2x22
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = 2(x12 + x22)
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = 2[(x1 + x2)2 − 2x1.x2)]
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = 2[(2)2 − 2(4)]
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = 2(4 − 8)
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = 2(-4)
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = -8 

    Hasil kali akar :
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = (x12 + x22 + 2x1.x2).(x12 + x22 − 2x1.x2)
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = x14 + x24 − 2x12x22
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = [(x1 + x2)2 − 2x1.x2]2 − 2(x1.x2)2 − 2(x1.x2)2
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = [(x1 + x2)2 − 2x1.x2]2 − 4(x1.x2)2 
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = [(2)2 − 2(4)]2 − 4(4)2
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = [4 − 8]2 − 4(16)
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = 16 − 64
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = -48

    Jadi persamaan kuadrat barunya adalah :
    ⇒ x2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
    ⇒ x2 − (-8)x + (-48) = 0
    ⇒ x2 + 8x − 48 = 0
    Jawaban : A

  3. Jika akar-akar dari persamaan x2 − 4x + 16 = 0 adalah a2 dan b2, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya (a + b)2 dan (a − b)2 adalah .....
    A. x2 − 18x − 48 = 0 D. x2 − 8x − 48 = 0
    B. x2 + 8x + 48 = 0 E. x2 − 8x + 48 = 0
    C. x2 + 8x − 48 = 0

    Pembahasan :
    ⇒ x2 − 4x + 16 = 0
    Diketahui : a = 1, b = -4, dann c = 16

    Jumlah akar :
    ⇒ a2 + b2 = -b
    a
    ⇒ a2 + b2 = -(-4)
    1
    ⇒ a2 + b2 = 4

    Selisih akar :
    ⇒ a2 − b2 = √D
    a
    ⇒ a2 − b2 = √16 − 4(1)(16)
    1
    ⇒ a2 − b2 = √-48

    Selanjutnya hitung jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.
    Jumlah akar :
    ⇒ (a + b)2 + (a − b)2 = a2 + b2 + 2a.b + a2 + b2 − 2a.b
    ⇒ (a + b)2 + (a − b)2 = 2a2 + 2b2
    ⇒ (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
    ⇒ (a + b)2 + (a − b)2 = 2(4)
    ⇒ (a + b)2 + (a − b)2 = 8

    Hasil kali akar :
    ⇒ (a + b)2.(a − b)2 = (a2 + b2 + 2a.b).(a2 + b2 − 2a.b)
    ⇒ (a + b)2.(a − b)2 = a4 + b4 − 2a2b2
    ⇒ (a + b)2.(a − b)2 = (a2 − b2)2
    ⇒ (a + b)2.(a − b)2 = (√-48)2
    ⇒ (a + b)2.(a − b)2 = -48

    Jadi persamaan kuadrat barunya adalah :
    ⇒ x2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
    ⇒ x2 − 8x + (-48) = 0
    ⇒ x2 − 8x − 48 = 0
    Jawaban : D

  4. Akar persamaan kuadrat x2 − 4x + 6 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x13 dan x23 adalah ....
    A. x2 + 8x + 216 = 0D. x2 − 18x + 216 = 0
    B. x2 − 8x − 216 = 0E. x2 − 18x − 216 = 0
    C. x2 + 8x − 216 = 0

    Pembahasan :
    ⇒ x2 − 4x + 6 = 0
    Diketahui : a = 1, b = -4, dan c = 6.

    Jumlah akar :
    ⇒ x1 + x2 = -b
    a
    ⇒ x1 + x2 = -(-4)
    1
    ⇒ x1 + x2 = 4

    Hasil kali akar :
    ⇒ x1.x2 = c
    a
    ⇒ x1.x2 = 6
    1
    ⇒ x1.x2 = 6

    Selanjutnya tinjau akar-akar persamaan kuadrat baru.
    Jumlah akar :
    ⇒ x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1.x2 (x1 + x2)
    ⇒ x13 + x23 = (4)3 − 3(6)(4)
    ⇒ x13 + x23 = 64 − 72
    ⇒ x13 + x23 = -8

    Hasil kali akar :
    ⇒ x13.x23 = (x1.x2)3
    ⇒ x13.x23 = (6)3
    ⇒ x13.x23 = 216

    Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah :
    ⇒ x2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
    ⇒ x2 − (-8)x + (216) = 0
    ⇒ x2 + 8x + 216 = 0
    Jawaban : A 

  5. Akar persamaan kuadrat x2 − 3x + 5 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x14 dan x24 adalah ....
    A. x2 − 36x − 625 = 0D. x2 + 49x + 625 = 0
    B. x2 + 36x − 625 = 0E. x2 − 49x + 625 = 0
    C. x2 − 49x − 625 = 0

    Pembahasan :
    ⇒ x2 − 3x + 5 = 0
    Diketahui : a = 1, b = -3, dan c = 5

    Jumlah akar :
    ⇒ x1 + x2 = -b
    a
    ⇒ x1 + x2 = -(-3)
    1
    ⇒ x1 + x2 = 3

    Hasil kali akar :
    ⇒ x1.x2 = c
    a
    ⇒ x1.x2 = 5
    1
    ⇒ x1.x2 = 5

    Selanjutnya tinjau akar-akar persamaan kuadrat baru.
    Jumlah akar :
    ⇒ x14 + x24  = [(x1 + x2)2 − 2x1.x2]2 − 2(x1.x2)2
    ⇒ x14 + x24  = [(3)2 − 2(5)]2 − 2(5)2
    ⇒ x14 + x24  = (9 − 10)2 − 2(25)
    ⇒ x14 + x24  = 1 − 50
    ⇒ x14 + x24  = -49

    Hasil kali akar :
    ⇒ x14.x24 = (x1.x2)4
    ⇒ x14.x24 = (5)4
    ⇒ x14.x24 = 625

    Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah :
    ⇒ x2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
    ⇒ x2 − (-49)x + (625) = 0
    ⇒ x2 + 49x + 625 = 0
    Jawaban : D
Jeger
Jeger
Suka Berbagi, Suka Belajar, Juga Suka Kamu, Iya Kamu!
Tags:
matematika
Link copied to clipboard.