Langkah Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
- Persamaan x2 + 3x − 2 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1⁄x1 + 2 dan 1⁄x2 + 2 adalah ....
A. 2x2 + 11x − 13 = 0 |
B. 2x2 − 11x + 13 = 0 |
C. 2x2 + 11x + 13 = 0 |
D. 2x2 + 13x + 11 = 0 |
E. 2x2 + 13x − 11 = 0 |
Pembahasan :Untuk mengerjakan soal seperti ini, kita dapat bergerak dari persamaan kuadrat yang diketahui terlebih dahulu. Tentukan hasil jumlah dan hasil kali akar-akarnya.
⇒ x
2 + 3x − 2 = 0
Diketahui : a = 1, b = 3, dan c = -2.
Hasil jumlah akar :
⇒ x
1 + x
2 = -3
Hasil kali akar :
⇒ x
1 . x
2 = -2
Selanjutnya kita lihat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang akan kita susun.
Hasil jumlah akar :
⇒ (1⁄x1 + 2) + (1⁄x2 + 2) = | 1 | + | 1 | + 4 |
x1 | x2 |
⇒ (1⁄x1 + 2) + (1⁄x2 + 2) = | x1 + x2 | + 4 |
x1 . x2 |
⇒ (1⁄x1 + 2) + (1⁄x2 + 2) = | -3 | + 4 |
-2 |
⇒ (1⁄x1 + 2) + (1⁄x2 + 2) = | 11 |
2 |
Hasil kali akar :
⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) = | 1 | + | 2 | + | 2 | + 4 |
x1.x2 | x1 | x2 |
⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) = | 1 | + | 2x1 + 2x2 | + 4 |
x1.x2 | x1 . x2 |
⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) = | 1 | + | 2(x1 + x2) | + 4 |
x1.x2 | x1 . x2 |
⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) = | 1 | + | 2(-3) | + 4 |
-2 | -2 |
⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) = | 1 | + 7 |
-2 |
⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) = | 13 |
2 |
Jadi persamaan kuadrat barunya adalah :
⇒ x
2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x
2 − (
11⁄
2)x +
13⁄
2 = 0
⇒ 2x
2 − 11x + 13 = 0
Jawaban : B
- Akar persamaan kuadrat x2 − 2x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (x1 + x2)2 dan (x1 − x2)2 adalah ....
A. x2 + 8x − 48 = 0 | D. x2 − 6x + 42 = 0 |
B. x2 − 6x − 42 = 0 | E. x2 − 8x − 48 = 0 |
C. x2 − 8x + 48 = 0 |
|
Pembahasan :⇒ x
2 − 2x + 4 = 0
Diketahui a = 1, b = -2, dan c = 4.
Jumlah akar :
⇒ x
1 + x
2 = 2
Hasil kali akar :
⇒ x
1 . x
2 = 4
Selanjutnya tinjau akar-akar persamaan kuadrat baru.
Jumlah akar :
⇒ (x
1 + x
2)
2 + (x
1 − x
2)
2 = x
12 + x
22 +
2x1.x2 + x
12 + x
22 −
2x1.x2⇒ (x
1 + x
2)
2 + (x
1 − x
2)
2 = 2x
12 + 2x
22 ⇒ (x
1 + x
2)
2 + (x
1 − x
2)
2 = 2(x
12 + x
22)
⇒ (x
1 + x
2)
2 + (x
1 − x
2)
2 = 2[(x
1 + x
2)
2 − 2x
1.x
2)]
⇒ (x
1 + x
2)
2 + (x
1 − x
2)
2 = 2[(2)
2 − 2(4)]
⇒ (x
1 + x
2)
2 + (x
1 − x
2)
2 = 2(4 − 8)
⇒ (x
1 + x
2)
2 + (x
1 − x
2)
2 = 2(-4)
⇒ (x
1 + x
2)
2 + (x
1 − x
2)
2 = -8
Hasil kali akar :
⇒ (x
1 + x
2)
2.(x
1 − x
2)
2 = (x
12 + x
22 + 2x
1.x
2).(x
12 + x
22 − 2x
1.x
2)
⇒ (x
1 + x
2)
2.(x
1 − x
2)
2 = x
14 + x
24 − 2x
12x
22 ⇒ (x
1 + x
2)
2.(x
1 − x
2)
2 = [(x
1 + x
2)
2 − 2x
1.x
2]
2 − 2(x
1.x
2)
2 − 2(x
1.x
2)
2⇒ (x
1 + x
2)
2.(x
1 − x
2)
2 = [(x
1 + x
2)
2 − 2x
1.x
2]
2 − 4(x
1.x
2)
2 ⇒ (x
1 + x
2)
2.(x
1 − x
2)
2 = [(2)
2 − 2(4)]
2 − 4(4)
2 ⇒ (x
1 + x
2)
2.(x
1 − x
2)
2 = [4 − 8]
2 − 4(16)
⇒ (x
1 + x
2)
2.(x
1 − x
2)
2 = 16
− 64
⇒ (x
1 + x
2)
2.(x
1 − x
2)
2 = -48
Jadi persamaan kuadrat barunya adalah :
⇒ x
2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x
2 − (-8)x + (-48) = 0
⇒ x
2 + 8x − 48 = 0
Jawaban : A
- Jika akar-akar dari persamaan x2 − 4x + 16 = 0 adalah a2 dan b2, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya (a + b)2 dan (a − b)2 adalah .....
A. x2 − 18x − 48 = 0 | D. x2 − 8x − 48 = 0 |
B. x2 + 8x + 48 = 0 | E. x2 − 8x + 48 = 0 |
C. x2 + 8x − 48 = 0 |
|
Pembahasan :⇒ x
2 − 4x + 16 = 0
Diketahui : a = 1, b = -4, dann c = 16
Jumlah akar :
⇒ a
2 + b
2 = 4
Selisih akar :
⇒ a2 − b2 = | √16 − 4(1)(16) |
1 |
⇒ a
2 − b
2 = √
-48Selanjutnya hitung jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.
Jumlah akar :
⇒ (a + b)
2 + (a − b)
2 = a
2 + b
2 +
2a.b + a
2 + b
2 −
2a.b⇒ (a + b)
2 + (a − b)
2 = 2a
2 + 2b
2 ⇒ (a + b)
2 + (a − b)
2 = 2(a
2 + b
2)
⇒ (a + b)
2 + (a − b)
2 = 2(4)
⇒ (a + b)
2 + (a − b)
2 = 8
Hasil kali akar :
⇒ (a + b)
2.(a − b)
2 = (a
2 + b
2 + 2a.b).(a
2 + b
2 − 2a.b)
⇒ (a + b)
2.(a − b)
2 = a
4 + b
4 − 2a
2b
2⇒ (a + b)
2.(a − b)
2 = (a
2 − b
2)
2⇒ (a + b)
2.(a − b)
2 = (√
-48)
2⇒ (a + b)
2.(a − b)
2 = -48
Jadi persamaan kuadrat barunya adalah :
⇒ x
2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x
2 − 8x + (-48) = 0
⇒ x
2 − 8x − 48 = 0
Jawaban : D
- Akar persamaan kuadrat x2 − 4x + 6 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x13 dan x23 adalah ....
A. x2 + 8x + 216 = 0 | D. x2 − 18x + 216 = 0 |
B. x2 − 8x − 216 = 0 | E. x2 − 18x − 216 = 0 |
C. x2 + 8x − 216 = 0 |
|
Pembahasan :⇒ x
2 − 4x + 6 = 0
Diketahui : a = 1, b = -4, dan c = 6.
Jumlah akar :
⇒ x
1 + x
2 = 4
Hasil kali akar :
⇒ x
1.x
2 = 6
Selanjutnya tinjau akar-akar persamaan kuadrat baru.
Jumlah akar :
⇒ x
13 + x
23 = (x
1 + x
2)
3 − 3x
1.x
2 (x
1 + x
2)
⇒ x
13 + x
23 = (4)
3 − 3(6)(4)
⇒ x
13 + x
23 = 64 − 72
⇒ x
13 + x
23 = -8
Hasil kali akar :
⇒ x
13.x
23 = (x
1.x
2)
3⇒ x
13.x
23 = (6)
3⇒ x
13.x
23 = 216
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah :
⇒ x
2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x
2 − (-8)x + (216) = 0
⇒ x
2 + 8x + 216 = 0
Jawaban : A
- Akar persamaan kuadrat x2 − 3x + 5 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x14 dan x24 adalah ....
A. x2 − 36x − 625 = 0 | D. x2 + 49x + 625 = 0 |
B. x2 + 36x − 625 = 0 | E. x2 − 49x + 625 = 0 |
C. x2 − 49x − 625 = 0 |
|
Pembahasan :⇒ x
2 − 3x + 5 = 0
Diketahui : a = 1, b = -3, dan c = 5
Jumlah akar :
⇒ x
1 + x
2 = 3
Hasil kali akar :
⇒ x
1.x
2 = 5
Selanjutnya tinjau akar-akar persamaan kuadrat baru.
Jumlah akar :
⇒ x
14 + x
24 = [(x
1 + x
2)
2 − 2x
1.x
2]
2 − 2(x
1.x
2)
2 ⇒ x
14 + x
24 = [(3)
2 − 2(5)]
2 − 2(5)
2⇒ x
14 + x
24 = (9 − 10)
2 − 2(25)
⇒ x
14 + x
24 = 1 − 50
⇒ x
14 + x
24 = -49
Hasil kali akar :
⇒ x
14.x
24 = (x
1.x
2)
4⇒ x
14.x
24 = (5)
4⇒ x
14.x
24 = 625
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah :
⇒ x
2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x
2 − (-49)x + (625) = 0
⇒ x
2 + 49x + 625 = 0
Jawaban : D
Anda mungkin menyukai postingan ini