Hasil Kali dan Jumlah Akar Akar Persamaan Kuadrat
Rumus jumlah dan hasil kali akar biasanya digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru atau untuk menentukan nilai suatu variabel. Rumus tersebut masih sederhana dan mudah diingat. Akan tetapi, tentu saja soal-soal yang kita temui tidak akan sesederhana itu. Seringkali akar-akar dari suatu persamaan kuadrat merupakan bentuk lain yang lebih kompleks dengan pangkat tertentu yang membuatnya menjadi lebih sulit. Meski demikian kita masih dapat memanfaatkan rumus utama untuk menjawab soal-soal tersebut. Yang harus kita lakukan hanyalah mengubah bentuk agar diperoleh rumus utama.
Sebelum kita membahas beberapa contoh menentukan persamaan kuadrat baru yang akan dibahas pada artikel selanjutnya, berikut kita bahas rumus utama jumlah dan hasil kali akar dan bentuk lain yang lebih kompleks.
Kita mulai dari rumus jumlah akar :
| x1 + x2 = | -b |
| a |
Rumus hasil kali akar :
Baca Juga
| x1 . x2 = | c |
| a |
Jika kita perhatikan kedua rumus di atas cukup mudah diingat, ingat saja -baca dan ingat bahwa rumusnya adalah pembagian. Pada pembagian, ketika akar-akarnya berpangkat dua atau lebih, tidak ada masalah karena kita hanya harus memperhatikan pangkatnya sesuai konsep eksponen. Akan tetapi, ketika kita tiba pada rumus jumlah akar, maka akan menjadi lebih kompleks.
Berikut ini beberapa bentuk yang sering keluar dalam soal :
- x12 + x22 Untuk pangkat dua masih sederhana. Konsepnya, kita pangkatkan jumlah akar kemudian kita kurangkan dengan bagian yang tidak diperlukan.
Jika akar dipangkatkan dua hasilnya adalah :
⇒ (x1 + x2)2 = x12 + x22 + 2x1.x2
⇒ x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1.x2⇒ x12 + x22 = (-b⁄a)2 − 2(c⁄a) - x12 − x22 ⇒ x12 − x22 = (x1 + x2) (x1 − x2)
⇒ x12 − x22 = (-b⁄a) (±√D⁄a)
Rumus selisih akar :x1 − x2 = √D a - x13 + x23 Karena tidak mungkin semua rumus kita hapal, maka yang perlu kita pahami adalah bagaimana cara merubah bentuk ke rumus utama.
Karena akar berpangkat tiga, maka jumlah akarnya kita pangkatkan tiga sebagai berikut :
⇒ (x1 + x2)3 = x13 + 2x12.x2 + x1.x22 + x12.x2 + 2x1.x22 + x23⇒ (x1 + x2)3 = x13 + x23 + 3x12.x2 + 3x1.x22
⇒ x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x12.x2 − 3x1.x22
⇒ x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1.x2 (x1 + x2)
⇒ x13 + x23 = (-b⁄a)3 − 3(c⁄a)(-b⁄a) - x13 − x23 ⇒ (x1 − x2)3 = x13 − 2x12.x2 + x1.x22 − x12.x2 + 2x1.x22 − x23⇒ (x1 − x2)3 = x13 − x23 − 3x12.x2 + 3x1.x22
⇒ x13 − x23 = (x1 − x2)3 + 3x12.x2 − 3x1.x22
⇒ x13 − x23 = (x1 − x2)3 + 3x1.x2 (x1 − x2)
⇒ x13 − x23 = (±√D⁄a)3 + 3(c⁄a)(±√D⁄a) - x14 + x24 ⇒ (x12 + x22)2 = x14 + 2x12.x22 + x24⇒ (x12 + x22)2 = x14 + x24 + 2x12.x22
⇒ x14 + x24 = (x12 + x22)2 − 2x12.x22
⇒ x14 + x24 = (x12 + x22)2 − 2(x1.x2)2
⇒ x14 + x24 = [(x1 + x2)2 − 2x1.x2]2 − 2(x1.x2)2
⇒ x14 + x24 = [(-b⁄a)2 − 2(c⁄a)]2 − 2(c⁄a)2 - x14 − x24 ⇒ x14 − x24 = (x12 + x22) (x12 − x22)⇒ x14 − x24 = [(x1 + x2)2 − 2x1.x2] [(x1 + x2) (x1 − x2)]
⇒ x14 − x24 = [(-b⁄a)2 − 2(c⁄a)] [(-b⁄a) (±√D⁄a)]
Contoh Soal dan Pembahasan
- Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan 2x2 − 4px + 8 = 0. Jika x1 + x2 = 10, maka nilai p yang memenuhi adalah .....
A. 10 D. 4 B. 8 E. 2 C. 5
Pembahasan :
Untuk mengerjakan soal seperti ini, yang harus kita kuasai adalah konsep jumlah akar-akar. Ingat, kita tidak perlu mencari terlebih dahulu berapa nilai akar-akarnya. Berikut rumus jumlah akar yang dapat kita gunakan :x1 + x2 = -b a
Sekarang, perhatikan kembali persamaan dalam soal!
2x2 − 4px + 8 = 0
Diketahui : a = 2, b = -4p, dan c = 8
Gunakan rumus jumlah akar :⇒ x1 + x2 = -(-4p) 2
⇒ 2p = 10⇒ 10 = 4p 2
⇒ p = 5Jawaban : C - Jika x1 − x2 = 6, dengan x1 dan x2 merupakan akar dari persamaan x2 + 4x + k = 0, maka nilai k yang memenuhi persamaan tersebut adalah ....
A. -10 D. 5 B. -5 E. 10 C. 1
Sama seperti soal yang pertama, kita tak harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu. Kita dapat menggunakan rumus selisih akar berikut ini :x1 − x2 = ± √D a
Sekarang, perhatikan kembali persamaan dalam soal!
x2 + 4x + k = 0
Diketahui : a = 1, b = 4, dan c = k.
Pertama, kita cari dulu nilai diskriminannya :
⇒ D = b2 − 4ac
⇒ D = (4)2 − 4(1)(k)
⇒ D = 16 − 4k
Selanjutnya gunakan rumus selisih akar :⇒ x1 − x2 = ± √16 − 4k 1 ⇒ 6 = ± √16 − 4k 1 ⇒ 6 = ± √16 − 4k
⇒ 36 = 16 − 4k
⇒ 36 −16 = -4k
⇒ 20 = -4k
⇒ k = -5Jawaban : B - Persamaan kuadrat x2 − mx + m + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x1 − x2 = 2, maka nilai m sama dengan ....
A. √5 D. 2√5 B. 2√3 E. 3√5 C. 2√2
Pembahasan :
Masih sama dengan soal nomor 2, kita gunakan rumus selisih akar. Perhatikan persamaan kuadrat pada soal!
x2 − mx + m + 4 = 0
Diketahui : a = 1, b = -m, dan c = 4.
Pertama kita cari nilai diskriminannya :
⇒ D = b2 − 4ac
⇒ D = (-m)2 − 4(1)(4)
⇒ D = m2 − 16
Selanjutnya gunakan rumus selisih akar :⇒ x1 − x2 = ± √m2 − 16 1
⇒ 4 = m2 − 16⇒ 2 = ± √m2 − 16 1
⇒ 4 + 16 = m2⇒ m = √20
⇒ m = 2√5Jawaban : D - Nilai k yang memenuhi persamaan 2kx2 − 9x + k2 = 0 jika diketahui x1.x2 = 12 adalah .....
A. 18 D. 32 B. 24 E. 36 C. 30
Pembahasan :
Kita dapat menggunakan rumus hasil kali akar berikut ini :x1.x2 = c a
Sekarang, perhatikan kembali persamaan dalam soal!
2kx2 − 9x + k2 = 0
Diketahui : a = 2k, b = -9, dan c = k2.
Gunakan rumus hasil kali :⇒ x1.x2 = k2 2k
⇒ k = 24⇒ 12 = k 2 Jawaban : B - Dari persamaan mx2 − 2nx + 24 = 0 diketahui x1 + x2 = 4 dan x1.x2 = 6. Jika nilai m dan n diperoleh, maka persamaan kuadratnya adalah ....
A. x2 − 4x + 6 = 0 D. 2x2 − 6x + 4 = 0 B. x2 − 6x + 4 = 0 E. 3x2 − 4x + 6 = 0 C. 2x2 − 4x + 6 = 0
Pembahasan :
Karena hasil jumlah dan hasil kali akar-akar diketahui, maka kita dapat gunakan rumus keduanya untuk mencari nilai m dan n. Perhatikan soalnya :
mx2 − 2nx + 24 = 0
Diketahui : a = m, b = -2n, dan c = 24
Gunakan rumus jumlah :⇒ x1 + x2 = -(-2n) m
⇒ n = 2m⇒ 4 = 2n m
Gunakan rumus hasil kali :⇒ x1.x2 = 24 m
⇒ m = 4⇒ 6 = 24 m
maka n = 2m = 8.
Jadi, persamaan kuadratnya adalah :
⇒ mx2 − 2nx + 24 = 0
⇒ 4x2 − 2(8)x + 24 = 0
⇒ 4x2 − 16x + 24 = 0
⇒ x2 − 4x + 6 = 0Jawaban : A
Tags:
matematika
