Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Vektor dan Dimensi

BAGIAN I

1. Tentukan dimensi dari besaran berikut ini :
   
   1. Energi kinetik 
   2. Momen Gaya
   3. Daya

   
   

   Pembahasan :
   Berikut tabel besaran pokok dan satuannya.
   

   Besaran	Satuan	Dimensi
   Panjang	meter (m)	L
   Massa	kilogram (kg)	M
   Waktu	sekon (s)	T

   
   Berdasarkan tabel besaran pokok di atas, kita dapat menentukan dimensi besaran-besaran tersebut dengan langkah sebagai berikut :
   

   1. Tentukan rumus besaran turunan
   2. Tentukan besaran pokoknya
   3. Nyatakan dimensi dalam simbol yang disepakati

   
   

   1. Energi kinetik 
      Ek = ½mv² 
      ⇒ Ek = ½(m).(v)²
      ⇒ Ek = ½(m).(s/t)² 
      ⇒ Ek = ½(massa).(panjang/waktu)² 
      ⇒ Ek = [M].[L/T]² 
      ⇒ Ek = [M].[L]²/[T]²
      ⇒ Ek = [M].[L]².[T]^-2  
      
      
   2. Momen Gaya
      τ = F.d
      ⇒ τ = m.a.d
      ⇒ τ = (m).(v/t).(d)
      ⇒ τ = (m).(s/t²).(d)
      ⇒ τ = (massa).(panjang/waktu²).(panjang)
      ⇒ τ = [M].[L/T²].[L]
      ⇒ τ = [M].[L²/T²]
      ⇒ τ = [M].[L]².[T]^-2
      
      
   3. Daya
      P = W/t
      ⇒ P = F.s/t
      ⇒ P = m.a.s/t
      ⇒ P = m.(s/t²).s/t
      ⇒ P = m.s²/t³
      ⇒ P = m.s².t^-3
      ⇒ P = (massa).(panjang)².(waktu)^-3
      ⇒ P = [M].[L]².[T]^-3
      
      

   
   
2. Hasil pengukuran kapasitas panas C suatu zat sebagai fungsi temperatur T dinyatakan oleh persamaan C = aT + bT³. Satuan a dan b yang mungkin berturut-turut adalah ....
   

   A. J dan JK-2	D. JK2 dan J/K
   B. JK-2 dan JK	E. JK2 dan JK-4
   C. J dan JK2

   
   Pembahasan :
   Satuan temperatur adalah K dan satuan kapasitas panas (C) adalah Joule/Kelvin (J/K). Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa satuan aT dan  bT³ adalah sama dengan satuan C yaitu J/K sebab C = aT + bT³. Maka diperoleh satuan untuk a :
   ⇒ aT = J/K
   ⇒ aK = J/K
   ⇒ a = JK²
   
   Satuan untuk b :
   ⇒ bT³ = J/K
   ⇒ bK³ = J/K
   ⇒ b = J/K⁴
   ⇒ b = JK^-4
   

   Jawaban : E
   
   
3. Suatu persamaan E = Av² + Bx², dengan E, v, dan s masing-masing menyatakan energi, kecepatan, dan jarak. Jika k = AB, maka dimensi besaran k adalah .....
   

   A. [M]2[T]-2	D. [M]2[L]2[T]-2
   B. [M]2[T]2	E. [M]2[L][T]-2
   C. [L]2[T]-2

   
   Pembahasan :
   Perhatikan kembali hubungan antara besaran pokok, satuan, dan dimensi berikut ini :
   

   Besaran	Satuan	Dimensi
   Panjang	meter (m)	L
   Massa	kilogram (kg)	M
   Waktu	sekon (s)	T

   
   Karena satuan Energi (E) adalah Joule (J), maka satuan Av² dan Bx² adalah sama dengan satuan energi yaitu Joule sebab E = Av² + Bx². Dengan demikian satuan dari besaran A adalah :
   ⇒ Av² = J
   ⇒ A (m/s)² = kg.m².s^-2
   ⇒ A = kg
   
   Satuan untuk besaran B :
   ⇒ Bx² = J
   ⇒ B(m)² = kg.m².s^-2
   ⇒ B = kg.s^-2
   
   Dengan demikian dimensi dari k adalah :
   ⇒ k = A.B
   ⇒ k = kg.kg.s^-2
   ⇒ k = kg².s^-2
   ⇒ k = [M]².[T]^-2
   

   Jawaban : A

   
   
4. Jika resultan dua buah gaya yang sama besar sama dengan besar gaya tersebut, maka besar sudut apit kedua gaya adalah .....

   A. 120o	D. 37o
   B. 90o	E. 30o
   C. 53o

   
   Pembahasan :
   Dik : F₁ = F₂ = F, dan R = F.
   
   Resultan dua buah gaya yang membentuk sudut apit dapat dihitung dengan menggunakan aturan kosinus sebagai berikut :
   ⇒ R =  √F₁² + F₂² + 2F₁F₂ cos θ
   ⇒ F =  √F² + F² + 2F.F cos θ
   ⇒ F =  √2F² + 2F² cos θ
   ⇒ F² = 2F² + 2F² cos θ
   ⇒ -F² = 2F² cos θ
   ⇒ -½ = cos θ
   ⇒ θ = 120^o
   

   Jawaban : A
   
   
5. Seekor kambing berlari ke arah timur sejauh 9 meter, kemudian berbelok ke selatan dan berlari lagi sejauh 12 meter. Pepindahan yang dialami kambing tersebut adalah ....

   A. 6 m	D. 15 m
   B. 9 m	E. 16 m
   C. 12 m

   
   Pembahasan :
   Untuk memahami lebih jelas, kita dapat menggambar sketsa pergerakan kambing tersebut yang kurang lebih seperti gambar di bawah ini :
   
   

   

   
   Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa perpindahan kambing adalah panjang sisi miring atau garis putus-putus yang dapat dihitung dengan dalil Phytagoras sebagai berikut :
   ⇒ s =  √9² + 12²
   

   ⇒ s =  √81 + 144 
   

   ⇒ s =  √225

   ⇒ s = 15 m.

   Jawaban : D

   BAGIAN II

   Pada umumnya, besaran turunan merupakan besaran vekor yaitu besaran yang memiliki nilai dan arah misalnya kecepatan, gaya, perpindahan dan sebagainya. Besaran yang hanya memiliki nilai saja disebut besaran skalar misalnya massa, waktu, jarak, kelajuan, dan sebagainya.
   
   Jika berbicara mengenai besaran vektor, maka yang menjadi fokus kita adalah nilai dan arah. Analisis arah sangat menentukan hasil yang diperoleh. Cara yang paling umum digunakan untuk menentukan resultan dua vektor adalah dengan aturan cosinus.
   
   Untuk vektor-vektor yang segaris, resultan vektornya dapat dihitung dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan vektor-vektor tersebut secara aljabar biasa. Di bawah ini dibahas beberapa contoh.

   
   

   
   

   Contoh Soal :

   

   1. Persaman gas ideal memenuhi persamaan PV/T = C, dengan C adalah konstanta. Berdasarkan rumus tersebut, dimensi dari konstanta C adalah .....

      A. [M][L]-2[T]-3[θ]-1	D. [M][L]-2[T]-3[θ]-2
      B. [M][L]2[T]-3[θ]-1	E. [M][L]-2[T]-2[θ]-1
      C. [M][L]2[T]-2[θ]-1

      
      Pembahasan :
      Berikut tabel besaran pokok, satuan, dan dimensinya.
      

      Besaran	Satuan	Dimensi
      Panjang	meter (m)	L
      Massa	kilogram (kg)	M
      Waktu	sekon (s)	T
      Suhu	Kelvin (K)	θ

      
      Yang perlu kita ingat adalah dimensi untuk besaran-besaran pokok seperti yang terlihat pada tabel. Selanjutnya kita nyatakan besaran turunan yang sesuai.
      ⇒ C = PV/T
      ⇒ C = {(F/A).V}/T
      ⇒ C = FV/AT
      ⇒ C = (m.a.V)/AT
      ⇒ C = (kg.m/s².m³)/(m².K)
      ⇒ C = kg.m².s^-2.K^-1
      ⇒ C = (massa).(panjang)².(waktu)^-2.(suhu)^-1
      ⇒ C = [M][L]²[T]^-2[θ]^-1
      

      Jawaban : C

      
      
   2. Perhatikan tabel di bawah ini.

      No	Dimensi	Besaran	Satuan
      1	ML2T-2	Usaha	Joule
      2	M-1L3T-2	Konstanta Gravitasi	m/s2
      3	ML2T-2	Torsi	N.m

      
      Pasangan dimensi, besaran, dan satuan yang sesuai adalah ....
      

      A. 1 dan 2	D. 1, 2, dan 3
      B. 1 dan 3	E. Hanya 2
      C. 2 dan 3

      
      Pembahasan :
      Karena lebih mudah menyusun dimensi berdasarkan rumus daripada menyusun rumus berdasarkan dimensi, maka kita dapat menggunakan rumus untuk mengetahui pasangan yang sesuai :
      

      1. Usaha
         ⇒ W= F.s 
         ⇒ W= m.a.s
         ⇒ W= m.(v/t).s
         ⇒ W= m.(s/t²).s
         ⇒ W = kg.m²/s²
         ⇒ W = (massa).(panjang)²/(waktu)²
         ⇒ W = (massa).(panjang)².(waktu)^-2
         ⇒ W = [M][L]²[T]^-2
         ∴ Dimensi dan satuan sesuai.
         
         
      2. Konstanta Gravitasi
         ⇒ G = (F.r²)/(m₁.m₂)
         ⇒ G = (m.a.r²)/(m₁.m₂)
         ⇒ G = (kg.m/s².m²)/(kg²)
         ⇒ G = m³/s²kg
         ⇒ G = m³s^-2kg^-1
         ⇒ G = (panjang)³.(waktu)^-2.(massa)^-1
         ⇒ G = [M]^-1.[L]³.[T]^-2
         ∴ Dimensi sesuai, satuan tidak.
         
         
      3. Torsi
         τ = F.d
         ⇒ τ = m.a.d
         ⇒ τ = (m).(v/t).(d)
         ⇒ τ = (m).(s/t²).(d)
         ⇒ τ = kg.m²/s²
         ⇒ τ = (massa).(panjang²/waktu²)
         ⇒ τ = [M].[L]².[T]^-2
         ∴ Dimensi dan satuan sesuai.

      Jawaban : B
      
      
   3. Jika tiga buah vektor yang sama besar berada pada satu titik tangkap dan saling membentuk sudut 120o,  maka resultan gayanya adalah .....

      A. Sama besar dengan tiap vektor	D. Setengah besar vektor
      B. Dua kali besar vektor	E. Tiga kali besar vektor
      C. Nol

      
      Pembahasan :
      Jika kita gambar sketsanya kurang lebih akan seperti di bawah ini.
      

      

      Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa resultan F1 dan F2 sama besar dengan vektor F3 akan tetapi berlawanan arah (F1 + F2 = -F3) sehingga resultan totalnya adalah :
      ⇒ R = F1 + F2 + F3
      ⇒ R = -F3 + F3
      ⇒ R = 0
      
      Jawaban di atas juga dapat dibuktikan dengan aturan cosinus sebagai berikut :
      ⇒ F1 + F2 = √F₁² + F₂² + 2F₁F₂ cos θ
      ⇒ F1 + F2 = √F² + F² + 2F.F cos 120^o
      ⇒ F1 + F2 = √2F² + 2F² (-½)
      ⇒ F1 + F2 = √2F² - F² 
      ⇒ F1 + F2 = √F² 
      ⇒ F1 + F2 = F
      ⇒ F1 + F2 = F
      Tanda negatif karena F1 + F2 pasti berlawanan arah dengan F3 namun sama besar. Dengan demikian resultannya adalah :
      ⇒ R = F1 + F2 + F3

      ⇒ R = -F3 + F3
      ⇒ R = 0
      Jawaban : C
      
      
   4. Dua buah gaya sama besar sebesar F berada pada satu titik tangkap. Jika resultannya kedua gaya sama dengan √3 kali besar gaya tersebut, maka besar sudut apit kedua gaya adalah .....

      A. 120o	D. 37o
      B. 90o	E. 30o
      C. 60o

      
      Pembahasan :
      Dik : F₁ = F₂ = F, dan R = F.
      
      Resultan dua buah gaya yang membentuk sudut apit dapat dihitung dengan menggunakan aturan kosinus sebagai berikut :
      ⇒ R =  √F₁² + F₂² + 2F₁F₂ cos θ
      ⇒ √3F =  √F² + F² + 2F.F cos θ
      ⇒ √3F =  √2F² + 2F² cos θ
      ⇒ (√3F)² = 2F² + 2F² cos θ
      ⇒ 3F² = 2F² + 2F² cos θ
      ⇒ F² = 2F² cos θ
      ⇒ ½ = cos θ
      ⇒ θ = 60^o
      

      Jawaban : C
      
      
   5. Tiga buah vektor A, B, dan C yang setitik tangkap masing-masing besarnya 20 N. Vektor B berada di antara A dan C. Jika sudut antara A dan B sama dengan sudut antara B dan C yaitu 60^o, maka resultan ketiga vektor tersebut adalah ....

      A. 10	D. 40
      B. 20	E. 50
      C. 30

      
      Pembahasan :
      Diketahui : A = B = C = 20 N. 
      

      

      
      

      Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa A + C = B. Dengan demikian resultannya adalah :
      ⇒ R = A + B + C
      ⇒ R = B + B  
      ⇒ R = 2B
      ⇒ R = 2(20)
      ⇒ R = 40 N.
      
      Jawaban di atas juga dapat dibuktikan dengan aturan cosinus. Sudut yang dibentuk oleh A dan C adalah 120^o, sehingga :
      ⇒ A + C = √A² + C² + 2A.C cos θ
      ⇒ A + C = √A² + A² + 2A.A cos 120^o
      ⇒ A + C = √2A² + 2A² (-½)
      ⇒ A + C = A
      Karena A = B = C = 20 N, maka :
      &#865#8658; R = A + B + C
      ⇒ R = A + C + B
      ⇒ R = A + B
      ⇒ R = 20 + 20
      ⇒ R = 40 N.
      

      Jawaban : D

      BAGIAN III

      Besaran Vektor. Sebagian besar besaran turunan merupakan besaran vekor yaitu besaran yang memiliki nilai dan arah misalnya kecepatan, gaya, perpindahan dan sebagainya. Besaran yang hanya memiliki nilai saja disebut besaran skalar misalnya massa, waktu, jarak, kelajuan, dan sebagainya. Jika berbicara mengenai besaran vektor, maka yang menjadi fokus kita adalah nilai dan arah. Analisis arah sangat menentukan hasil yang diperoleh dalam penentuan resultan atau penjumlahan beberapa vektor. Cara yang paling umum digunakan untuk menentukan resultan dua vektor adalah dengan aturan cosinus. Untuk vektor-vektor yang segaris, resultan vektornya dapat dihitung dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan vektor-vektor tersebut secara aljabar biasa. Di bawah ini dibahas beberapa contoh.
      
      
      Contoh 1 : Menentukan Besar Vektor
      Dua buah vektor A dan B mengapit sudut 120^o. Resultan kedua vektor adalah 20√3 N. Jika resultan tersebut membentuk sudut 30^o terhadap vektor A, maka besar A dan B adalah .....
      A. 20 N dan 40 N
      B. 40 N dan 20 N
      C. 20√3 N dan 40√3 N
      D. 40√3 N dan 20√3 N
      E. 20√3 N dan 20√3 N
      
      Pembahasan :
      Jika digambarkan akan terlihat seperti di gambar di bawah ini :
      
      
      
      
      Berdasarkan aturan sinus, maka berlaku :
      

      A	=	B	=	R
      sin 90		sin 30		sin 120

      A	=	R
      sin 90		sin 120

      A	=	20√3
      1		(-½)

      ⇒ A = 40√2 (½√2)
      
      Besar vektor B dapat dihitung dengan persamaan :
      

      A	=	R
      sin 90		sin 120

      A	=	20√3
      1		(-½)

      ⇒ A = 40√2 (½√2)
      ⇒ T₂ = 500 N
      Jadi, T₁ = T₂ = 500 N.
      

      Jawaban : C
      
      
      Contoh 2 : Menentukan Jarak Tempuh
      Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 100 m dengan kelajuan 4 m/s tegak lurus terhadap arah arus sungai. Jika air sungai mengalir dengan kecepatan 3 m/s, maka jarak tempuh perahu tersebut sampai di seberang sungai adalah .....
      A. 100 m
      B. 105 m
      C. 110 m
      D. 115 m
      E. 125 m
      
      
      Pembahasan :
      Dik : Vair = Va = 3m/s, Vperahu = Vp = 4 m/s, x = 100 m.
      
      Karena perahu bergerak tegak lurus arah aliran sungai, maka sudut antara Va dan Vp adalah 90^o. Dengan begitu kecepatan resultannya dapat dihitung dengan menggunakan dalil Phytagoras sebagai berikut :
      ⇒ Vr = √Va² + Vp²
      
      ⇒ Vr = √3² + 4² 
      
      ⇒ Vr = 5 m/s.
      
      Sudut yang dibentuk resultan dengan vektor kecepatan air adalah :
      

      ⇒ sin a =	Vp
      	Vr

      ⇒ sin a =	4
      	5

      ⇒ a = 53^o.
      
      Dengan demikian, jarak yang ditempuh oleh perahu (s) adalah :
      

      ⇒ sin 53o =	x
      	s

      ⇒	4	=	100
      	5		s

      ⇒ s = 125 m.
      
      Jawaban : E.
      
      Contoh 3 : Aturan Cosinus
      Dua buah vektor gaya P dan R mengapit sudut 53^o dan menghasilkan resultan sebesar 40√2 N. Jika P : R = 1 : 5, maka besar vektor P dan Q adalah .....
      A. 6 N dan 6 N
      B. 2 N dan 10 N
      C. 10 N dan 2 N
      D. 8 N dan 4 N
      E. 4 N dan 8 N 
      
      Pembahasan :
      Dik : R = 15 N, P/R = 1/5, maka R = 5P
      
      Berdasarkan aturan cosinus :
      ⇒ R = √P² + R² + 2PR cos θ
      ⇒ R = √P² + (5P)² + 2P(5P) cos 53^o
      ⇒ R = √P² + 25P² + 10P² (⅗)
      ⇒ R = √32P² 
      ⇒ R = √(16 x 2)P² 
      ⇒ 40√2 = 4P√2
      
      ⇒ P = 10N
      Dengan demikian, besar vektor Q adalah :
      ⇒ Q = ⅕ P

      ⇒ Q = ⅕ (10)
      ⇒ Q = 2 N
      Jawaban : C
      
      Contoh 4 : Resultan Vektor
      Dua buah vektor saling membentuk sudut 67^o. Jika resultan membentuk sudut 37^o terhadap vektor kedua yang besarnya 15 N, maka besar vektor pertama adalah .....
      A. 18 N
      B. 20 N
      C. 22 N
      D. 24 N
      E. 30 N
      
      Pembahasan :
      Dik : F2 = 15 N.
      
      Berdasarkan aturan sinus :
      

      F2	=	F1	=	R
      sin 30o		sin 37o		sin 67o

      15	=	F1
      sin 30o		sin 37o

      15	=	F1
      ½		⅗

      F1 =18 N
      
      Jawaban : A
      
      Contoh 5 : Menentukan Resultan Vektor
      Tiga buah vektor A, B, dan C yang setitik tangkap masing-masing besarnya 15 N. Vektor B berada di antara A dan C. Jika sudut antara A dan B sama dengan sudut antara B dan C yaitu 60^o, maka resultan ketiga vektor tersebut adalah ....
      A. 10 N
      B. 20 N
      C. 30 N
      D. 40 N
      E. 50 N
      
      Pembahasan :
      Diketahui : A = B = C = 15 N. 
      
      
      Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa A + C = B. Dengan demikian resultannya adalah :
      ⇒ R = A + B + C
      ⇒ R = B + B  
      ⇒ R = 2B
      ⇒ R = 2(15)
      ⇒ R = 30 N.
      
      Jawaban di atas juga dapat dibuktikan dengan aturan cosinus. Sudut yang dibentuk oleh A dan C adalah 120^o, sehingga :
      ⇒ A + C = √A² + C² + 2A.C cos θ
      ⇒ A + C = √A² + A² + 2A.A cos 120^o
      ⇒ A + C = √2A² + 2A² (-½)
      ⇒ A + C = A
      Karena A = B = C = 15 N, maka :
      ⇒ R = A + B + C
      ⇒ R = A + C + B
      ⇒ R = A + B
      ⇒ R = 15 N + 15 N
      ⇒ R = 30 N.
      
      Jawaban : C