Contoh Cara Membuat Tabel Kebenaran Biimplikasi dan Negasinya

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal yang dirangkai menggunakan kata hubung 'jika dan hanya jika' mengunakan simbol '⇔'. Kata hubung tersebut menunjukkan bahwa pernyataan biimplikasi merupakan pernyataan bersyarat ganda atau disebut dengan implikasi dwiarah. Artinya, kedua pernyataan tersebut bertindak sebagai sebab dan bertindak sebagai akibat sekaligus. Pernyataan pertama akan terpenuhi hanya jika penyataan kedua terpenuhi dan begitu sebaliknya pernyataan kedua akan terpenuhi hanya jika pernyataan pertama terpenuhi. Dengan kata lain, kedua pernyataan tersebut saling mempengaruhi. Pada kesempatan ini, si Jeger akan membahas tabel kebenaran biimplikasi dan beberapa ingkaran dari bimplikasi.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

Misal dua pernyataan p dan q dirangkai dengan kata hubung 'jika dan hanya jika', maka akan dihasilkan pernyataan biimplikasi yang dapat ditulis sebagai p ⇔ q. Biimplikasi p ⇔ q dapat dibaca 'p jika dan hanya jika q' atau jika p maka q dan jika q maka p.

Biimplikasi menunjukkan hubungan keterkaitan antara p dan q. Pada biimplikasi p ⇔ q berarti p adalah syarat perlu dan syarat cukup bagi q dan begitu sebaliknya q adalah syarat perlu dan syarat cukup bagi p.

Untuk membedakan biimplikasi dengan implikasi perhatikan contoh berikut:
1. Jika seseorang masih hidup, maka ia masih bernafas
2. Jika hari ini hujan, maka jalanan akan licin

Dari kedua contoh di atas, pernyataan pertama dapat diubah menjadi biimplikasi yaitu "Seseorang masih hidup jika dan hanya jika ia masih bernafas" atau "seseorang masih bernafas jika dan hanya jika ia masih hidup". Dalam hal ini bernafas dan hidup sama-sama dapat bertindak sebagai sebab dan akibat.

Pada contoh kedua, pernyataan tersebut dikenal sebagai implikasi dan tidak berlaku syarat ganda. Jika hari hujan maka jalanan akan licin tetapi jika jalanan licin belum tentu hari ini hujan. Artinya masih ada kemungkinan lain yang dapat menyebabkan jalanan licin. Dalam hal ini hujan adalah sebab dan licin adalah akibat.


Karena berlaku dalam dua arah atau bersyarat ganda, maka biimplikasi akan bernilai benar jika nilai kebenaran kedua pernyataannya sama. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut ini.

p	q	p ⇔ q	Dibaca
B	B	B	p benar jika dan hanya jika q benar, maka p ⇔ q benar
B	S	S	p benar jika dan hanya jika q salah, maka p ⇔ q salah
S	B	S	p salah jika dan hanya jika q benar, maka p ⇔ q salah
S	S	B	p salah jika dan hanya jika q salah, maka p ⇔ q benar

Pada tabel di atas dapat kita lihat bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika pernyataan p dan pernyataan q mempunyai nilai kebenaran sama yaitu sama-sama benar atau sama-sama salah. Biimplikasi akan bernilai salah jika nilai kebenaran dari pernyataan p berbeda dengan nilai kebenaran pernyataan q.

Dari sejumlah biimplikasi terdapat beberapa yang bersifat logis dan disebut sebagai biimplikasi logis. Biimplikasi logis adalah biimplikasi yang disusun oleh penyataan atau kalimat yang equivalen, yaitu kalimat terbuka yang memiliki himpunan penyelesaian yang sama.

Jika p(x) ⇔ q(x) merupakan biimplikasi logis, maka tiap penggantian nilai x yang menyebabkan p(x) benar akan menyebabkan kalimat q(x) juga benar. Begitu sebaliknya, tiap penggantian nilai x yang menyebabkan q(x) benar akan menyebabkan kalimat p(x) juga benar.

Jika dikaitkan dengan himpunan, maka biimplikasi dua pernyatan memiliki hubungan dengan himpunan yang sama. Misal P dan Q adalah himpunan penyelsaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka p(x) ⇔ q(x) atau p ⇔ q akan bernilai benar jika P = Q.

Tabel Kebenaran Ingkaran Biimplikasi

Jika biimplikasi dari pernyataan p dan pernyataan q dapat ditulis dengan p ⇔ q, maka negasi atau ingkaran dari biimplikasi tersebut dapat ditulis sebagai ~(p ⇔ q). Nilai kebenaran dari ingkaran biimplikasi dapat dilihat pada tabel berikut ini.

p	q	~p	~q	p ⇔ q	~(p ⇔ q)	~p ⇔ q	p ⇔ ~q
B	B	S	S	B	S	S	S
B	S	S	B	S	B	B	B
S	B	B	S	S	B	B	B
S	S	B	B	B	S	S	S

Dari tabel kebenaran di atas, dapat kita lihat bahwa :

~(p ⇔ q) ≡ ~p ⇔ q ≡ p ⇔ ~q

Ingkaran dari biimplikasi p jika dan hanya jika q antara lain negasi p jika dan hanya jika q atau p jika dan hanya jika negasi q. Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1 :
Tentukan ingkaran dari beberapa biimplikasi berikut:
a). 3 bilangan prima jika dan hanya jika 3 habis dibagi 1 dan 3
b). ²log x = 4 jika dan hanya jika x = 2⁴
c). 16^½ = 4 jika dan hanya jika ¹⁶log 4 = ½

Pembahasan :
a). 3 bukan bilangan prima jika dan hanya jika 3 habis dibagi 1 dan 3
b). ²log x = 4 jika dan hanya jika x ≠ 2⁴
c). 16^½ ≠ 4 jika dan hanya jika ¹⁶log 4 = ½

Contoh 2 :
Tunjukkan bahwa ~(p ⇔ q) equivalen dengan (p ∧∼q)∨ (∼p ∧ q)!

Pembahasan :
Untuk membuktikan bahwa ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧∼q) ∨ (∼p ∧ q), kita dapat menggunakan tabel kebenaran. Pada tabel sebelumnya kita sudah tahu nilai kebenaran ~(p ⇔ q) sebagai berikut:
τ [~(p ⇔ q)] = S B B S

p	q	~p	~q	(p ∧∼q)	(∼p ∧ q)	(p ∧∼q) ∨ (∼p ∧ q)
B	B	S	S	S	S	S
B	S	S	B	B	S	B
S	B	B	S	S	B	B
S	S	B	B	S	S	S

Dari tabel kebenaran di atas terbukti bahwa ~(p ⇔ q) equivalen dengan (p ∧∼q)∨ (∼p ∧ q). Karena ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧∼q)∨ (∼p ∧ q), maka negasi dari (p ⇔ q) juga dapat dinyatakan dengan (p ∧∼q)∨ (∼p ∧ q).