Contoh Aplikasi Turunan dalam Menyelesaikan Deret

Kumpulan soal dan pembahasan tentang cara menentukan suku ke-n dan beda barisan aritmatika dengan menggunakan konsep turunan. Pada pembahasan tentang deret aritmatika, telah dijelaskan bahwa rumus jumlah n suku pertama dapat diubah ke dalam bentuk fungsi kuadrat, dan dengan konsep turunan, kita dapat menentukan suku ke-n dan beda deret tersebut berdasarkan fungsi kuadrat yang diketahui.
Pada kesempatan ini, Si Jeger akan membahas beberapa model soal yang berhubungan dengan penggunaan konsep turunan dalam barisan atau deret aritmatika. Dengan model soal ini diharapkan dapat membantu murid untuk lebih memahami konsep barisan dan deret aritmatika serta memperkaya model soal mereka.

Contoh 1 : Hubungan Sn dan Un

Secara umum, rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat, yaitu Sn = An² + Bn. Berdasarkan rumus tersebut, maka rumus suku ke-n deret itu adalah ....
A. Un = 2An + (B - A)
B. Un = 2An + (A - B)
C. Un = 2An + (B + A)
D. Un = An + (B - A)
E. Un = An + (A - B)

Pembahasan :
Dik : Sn = An² + Bn
Dit : n = ....?

Hubungan antara rumus jumlah n suku pertama (Sn) dengan rumus suku ke-n (Un) suatu deret aritmatika adalah sebagai berikut :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.A n^2-1 + 1.B n^1-1
⇒ Sn' = 2An + B

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.2A n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 2A

Rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 2An + B - ½(2A)
⇒ Un = 2An + B - A
⇒ Un = 2An + (B - A)

Jadi, rumus suku ke-n dapat dinyatakan dengan Un = 2An + (B - A).

Contoh 2 : Menentukan Beda Barisan

Jika Sn = 5n² + 7n menyatakan rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika, maka selisih antara setiap dua suku yang berdekatan dalam deret tersebut adalah ....
A. b = 13
B. b = 10
C. b = 7
D. b = 5
E. b = 3

Pembahasan :
Dik : Sn = 5n² + 7n
Dit : b = .... ?

Dengan menggunakan konsep turunan, kita dapat menentukan beda suatu deret berdasarkan rumus jumlah n suku pertamanya. Beda deret aritmatika sama dengan turunan kedua dari Sn atau dapat ditentukan dengan rumus :
⇒ b = Sn''

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.5 n^2-1 + 1.7 n^1-1
⇒ Sn' = 10n + 7

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.10 n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 10

Dengan demikian, diperoleh beda :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 10

Jadi, beda barisan aritmatika tersebut adalah 10.

Contoh 3 : Menentukan Suku ke-n Deret Aritmatika

Jumlah total sebuah deret aritmatika yang terdiri dari n suku dinyatakan dengan Sn = 2n² + 5n. Suku ketiga dan suku keenam deret tersebut berturut-turut adalah ....
A. 35 dan 25
B. 15 dan 25
C. 25 dan 15
D. 15 dan 45
E. 15 dan 30

Pembahasan :
Dik : Sn = 2n² + 5n
Dit : U₃ dan U₆ = .... ?

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.2 n^2-1 + 1.5 n^1-1
⇒ Sn' = 4n + 5

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.4 n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 4

Rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 4n + 5 - ½(4)
⇒ Un = 4n + 5 - 2
⇒ Un = 4n + 3

Suku ketiga, substitusi n = 3 :
⇒ Un = 4n + 3
⇒ U₃ = 4.3 + 3
⇒ U₃ = 12 + 3
⇒ U₃ = 15

Suku ketiga, substitusi n = 3 :
⇒ Un = 4n + 3
⇒ U₆ = 4.6 + 3
⇒ U₆ = 24 + 3
⇒ U₆ = 25

Jadi, suku ketiga dan suku keenam deret teresebut adalah 15 dan 25.

Contoh 4 : Menentukan Jumlah Suku Pertama dan Beda

Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah Sn = 5n² + 7n. Jika a adalah suku pertama dan b adalah beda, maka nilai a + b sama dengan ....
A. a + b = 22
B. a + b = 20
C. a + b = 18
D. a + b = 16
E. a + b = 15

Pembahasan :
Dik : Sn = 5n² + 7n
Dit : a + b = ...?

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.5 n^2-1 + 1.7 n^1-1
⇒ Sn' = 10n + 7

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.10 n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 10

Beda deret tersebut :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 10

Suku pertama :
⇒ a = S1
⇒ a = 5(1)² + 7(1)
⇒ a = 5 + 7
⇒ a = 12

Dengan demikian, diperoleh penjumlahan :
⇒ a + b = 12 + 10
⇒ a + b = 22.

Contoh 5 : Menentukan Rumus Suku ke-n

Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 4n² + 3n, maka rumus suku ke-n deret aritmatika tersebut adalah ....
A. Un = 8n - 1
B. Un = 8n - 2
C. Un = 8n + 1
D. Un = 8n + 2
E. Un = 10n - 1

Pembahasan :
Dik : Sn = 4n² + 3n
Dit : Un = .... ?

Berdasarkan konsep deret aritmatika dan penggunaan turunan, hubungan antara jumlah n suku pertama dan suku ke-n suatu deret adalah sebagai berikut :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.4 n^2-1 + 1.3 n^1-1
⇒ Sn' = 8n + 3

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.8 n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 8

Rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 8n + 3 - ½(8)
⇒ Un = 8n + 3 - 4
⇒ Un = 8n - 1

Jadi, rumus suku ke-n deret tersebut adalah Un = 8n - 1.