Perkalian Dot dan Perkalian Cross pada Vektor

Jeger

April 29, 2015

Posting Komentar

komentar teratas

Terbaru dulu

Perkalian Cross Vektor

Hasil dari perkalian silang atau cross product antara dua vektor adalah sebuah vektor baru yang arahnya tegak lurus terhadap bidang dimana kedua vektor yang dikalikan berada. Prinsip perkalian silang dua buah vektor mengikuti aturan tangan kanan.

Bila nilai atau besar vektor baru yang diperoleh melalui perkalian silang antara dua vektor ditentukan, maka nilai tersebut akan sama dengan hasil kali besar kedua vektor dengan sinus sudut apitnya yang secara metamtis dapat ditulis :

|A x B| = |A|.|B| sin θ

Dengan :

|A| = besar vektor A

|B| = besar vektor B

θ = sudut antara vektor A dan vektor B

Berikut beberapa hal penting dan umum yang berlaku dalam perkalian silang dua vektor :

Bersifat Antikomutatif
Jika dua buah vektor dikalikan secara silang, maka akan berlaku sifat antikomutatif yang secara matematis ditulis :
Baca Juga
A x B = -B x A
Contoh :
Jika dua vektor A dan B dinyatakan dengan : A = 2î + 2ĵ − 3k̂, dan B = -2î + 3ĵ − 4k̂. Buktikanlah bahwa A x B = -B x A.

Pembahasan :
Perkalian silang A x B :
⇒ A x B = i j k i       j
2 2 -3 2     2
-2 3 -4 -2    3
⇒ A x B = {i(2)(-4) + j(-3)(-2) + k(2)(3)} − {k(2)(-2) + i(-3)(3) + j(2)(-4)}
⇒ A x B = (-8i + 6j + 6k) − {-4k − 9i − 8j}
⇒ A x B = i + 14j + 10k

Perkalian silang B x A :
⇒ B x A = i j k i       j
-2 3 -4 -2     3
2 2 -3 2      2
⇒ B x A = {i(3)(-3) + j(-4)(2) + k(-2)(2)} − {k(3)(2) + i(-4)(2) + j(-2)(-3)}
⇒ B x A = (-9i − 8j − 4k) − {6k − 8i + 6j}
⇒ B x A = -i − 14j − 10k

Jika hasil di atas kita hubungkan, maka :
⇒ A x B = -B x A
⇒ i + 14j + 10k = -(-i − 14j − 10k)
⇒ i + 14j + 10k = i + 14j + 10k
(Terbukti).
Dua Vektor Saling Tegak Lurus
Jika kedua vektor yang dikalikan saling tegak lurus maka sudut antara kedua vektor adalah 90^o, sehingga :
|A x B| = |A|.|B| sin θ
|A x B| = |A|.|B| sin 90^o
|A x B| = |A|.|B| (1)
|A x B| = |A|.|B|
Dua Vektor Segaris
Jika kedua vektor berada satu garis dan searah, maka sudut antara kedua vektor adalah 0^o, sehingga :
|A x B| = |A|.|B| sin θ
|A x B| = |A|.|B| sin 0^o
|A x B| = |A|.|B| (0)
|A x B| = 0

Jika kedua vektor berada satu garis dan berlawanan arah, maka sudut antara dua vektor tersebut adalah 180^o, sehingga :
|A x B| = |A|.|B| sin θ
|A x B| = |A|.|B| sin 180^o
|A x B| = |A|.|B| (0)
|A x B| = 0

Sifat-sifat Perkalian Silang (Cross Product)

Berikut beberapa sifat perkalian silang :

A x B ≠ B x A
k(A x B) = kA x B = A x kB
A x (B + C) = (A x B) + (A x C)
(A + B) x C = (A x C) + (B x C)

Perkalian Dot Vektor

Perkalian dua vektor dapat dibedakan menjadi perkalian titik (dot product) yang biasa disebut perkalian skalar, dan perkalian silang (cross product) yang biasa disebut perkalian vektor. Perkalian skalar atau perkalian titik antara dua vektor menghasilkan nilai skalar sedangkan perkalian silang antara dua vektor menghasilkan vektor pula. Perkalian titik dua vektor didefenisikan sebagai suatu sakalar yang nilainya sama dengan hasil kali antara besar kedua vektor dengan cosinus sudut apitnya.

Perkalian skalar dua vektor dapat dikaji secara geometris ataupun secara aljabar. Hasil yang diperoleh berdasarkan dua metode tersebut adalah sama besar. Berikut rumus perkalian skalar :

Perkalian Skalar Secara Geometris
Secara geometris, perkalian skalar antara dua vektor adalah hasil kali antara besar vektor pertama dengan proyeksi vektor kedua.
Secara matematis perkalian skalar dua vektor dapat ditentukan dengan rumus :

a . b = |a|.|b| cos θ

Dengan :
|a| = besar vektor a
|b| = besar vektor b
θ = sudut antara vektor a dan b.

Misal dua vektor A dan B dinyatakan dengan :
A = aî + bĵ + ck̂
B = kî + mĵ + nk̂

Maka perkalian skalar antara A dan B adalah :
⇒ A.B = |A|.|B| cos θ
⇒ A.B = √a² + b² + c².√k² + m² + n² cos θ

Rumus perkalian skalar di atas biasanya digunakan untuk menentukan besar sudut antara dua vektor dengan menggunakan hasil kali berdasarkan perhitungan aljabar. Selain itu, rumus ini juga digunakan untuk menentukan nilai variabel dalam vektor jika sudut apitnya diketahui.

Contoh :
1. Diketahui vektor A = 2î + 5ĵ + 4k̂ dan B = î + 2ĵ − 3k̂. Sudut antara A dan B adalah ....
  A. 90^o D. 45^o
  B. 60^o E. 30^o
  C. 53^o
  
  Pembahasan :
  Berdasarkan rumus perkalian skalar :
  ⇒ A.B = |A|.|B| cos θ
  ⇒ (2î + 5ĵ + 4k̂)(î + 2ĵ − 3k̂) = |A|.|B| cos θ
  ⇒ 2(1) + 5(2) + (4)(-3) = |A|.|B| cos θ
  ⇒ 2 + 10 − 12 = |A|.|B| cos θ
  ⇒ 0 = |A|.|B| cos θ
  ⇒ cos θ = 0
  ⇒ θ = 90^o
  Jawaban : A
2. Diketahui vektor a = 2î + 4ĵ − nk̂ dan B = î + 2ĵ + 2k̂. Jika kedua vektor tersebut saling tegak lurus, maka nilai n adalah .....
  A. 100 m D. 115 m
  B. 105 m E. 125 m
  C. 110 m
  
  Pembahasan :
  Berdasarkan konsep perkalian skalar secara geometris :
  ⇒ a.b = |a|.|b| cos θ
  ⇒ a.b = |a|.|b| cos 90^o
  ⇒ (2î + 4ĵ − nk̂).(î + 2ĵ + 2k̂) = |a|.|b| (0)
  ⇒ 2(1) + 4(2) + (-n)(2) = 0
  ⇒ 2 + 8 − 2n = 0
  ⇒ 10 − 2n = 0
  ⇒ -2n = -10
  ⇒ n = 5

Perkalian Skalar Secara Aljabar
Misal dua vektor A dan B dinyatakan dengan :
A = aî + bĵ + ck̂
B = kî + mĵ + nk̂

Maka perkalian skalar antara A dan B adalah :
⇒ A.B = a(k) + b(m) + c(n)

Contoh :
Vektor a dan b diberikan sebagai berikut :
a = 2 dan b = 4
-1 2
-3 -1

Tentukan hasil perkalian skalar antara a dan b.

Pembahasan :
⇒ a.b = a(k) + b(m) + c(n)
⇒ a.b = (2î − ĵ − 3k̂)(4î + 2ĵ − k̂)
⇒ a.b = 2(4) + (-1)(2) + (-3)(-1)
⇒ a.b = 8 − 2 + 3
⇒ a.b = 9