Beda Barisan Aritmatika Jika Disisipi k Bilangan

Sisipan dalam Barisan Aritmatika. Sisipan merupakan sejumlah bilangan yang disisipkan di antara dua suku barisan aritmatika dan menghasilkan barisan aritmatika yang baru. Barisan aritmatika yang baru terbentuk tersebut juga memiliki beda yang baru. Karena disisipi oleh bilangan tertentu, maka selisih antara dua suku yang berdekatan akan berubah. Nah, selisih inilah yang disebut beda baru barisan aritmatika. Lalu, bagaimana cara menentukan beda baru suatu barisan aritmatika jika di antara dua suku suatu barisan aritmatka disisipkan k bilangan?
Untuk melihat bagaimana terbentuknya beda baru, maka Si Jeger akan mengulang sedikit konsep beda barisan aritmatika.

A. Beda Barisan Aritmatika

Beda adalah sebuah bilangan tetap yang diperoleh dari hasil pengurangan sebuah suku ke-n barisan aritmatika dengan suku sebelumnya. Dengan kata lain, beda merupakan selisih antara setiap dua suku yang berdekatan atau dua suku yang berurutan. Jika berbicara mengenai barisan aritmatika, maka nilai selisih ini adalah tetap atau sama besar.

Jika diberikan suatu barisan aritmatika 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26 maka beda barisan tersebut dapat ditentukan dengan menghitung selisih antara setiap dua suku yang berurutan. Dengan demikian, beda barisan tersebut adalah b = 6 - 2 = 10 - 6 = 14 - 10 = 22 - 18 = 26 - 22 = 4. Perhatikan bahwa beda barisannya adalah sama besar atau tetap yaitu b = 4.

Berdasarkan pola tersebut, jika dinyakatakan melalui bedanya, maka urutan dalam suatu barisan aritmatika dapat ditulis sebagai berikut :

U1, U2, U3, U4 + ... + Un

U1, (U1 + b), (U1 + 2b), (U1 + 3b) + ... + {U1 + (n - 1)b}

Dari susunan di atas, kita dapat melihat bagaimana hubungan antara suku-suku barisan aritmatika dengan beda barisan dan suku pertama. Kita juga dapat melihat pola umum untuk menentukan suku ke-n, yaitu Un = U₁ + (n - 1)b.

B. Beda Baru Setelah Disisipi k Bilangan

Berdasarkan konsep di atas kita dapat dengan mudah menentukan beda suatu barisan jika diketahui beberapa suku yang berurutan. Lalu, bagaimana jika di antara dua suku yang berurutan tersebut disisipkan k bilangan? Bagaimana hubungan antara beda baru dengan beda yang lama?

Misal di antara U₁ dan U₂ suatu barisan aritmatika disisipkan k bilangan (k menyatakan banyak bilangan yang disisipkan) dan dihasilkan barisan aritmatika baru dengan beda baru (b*), maka akan dihasilkan urutan sebagai berikut.

Barisan awal dengan beda b :
U₁, U₂ , ingat b = U₂ − U₁

Barisan baru dengan beda b* :
U₁, (U₁ + b*), (U₁ + 2b*), (U₁ + 3b*), .... (U₁ + kb*), U₂

Di atas telah diperoleh susunan atau urutan barisan aritmatika yang baru setelah disisipi. Konsepnya masih sama dengan konsep barisan aritmatika hanya saja beda barisannya sudah berubah karena jumlah sukunya juga sudah berubah.

Sekaranga perhatikan bahwa suku yang berada sebelum suku U₂ adalah (U₁ + kb*). Sesuai dengan konsep beda barisan, maka berlaku hubungan sebagai berikut:
⇒ b*  = U₂ − (U₁ + kb*)
⇒ b* =  U₂ − U₁ − kb*
⇒ b* + kb* = U₂ − U₁

Karena U₂ − U₁ = b, maka diperoleh :
⇒ (1 + k)b* = b
⇒ b* = b/(1 + k)

Berdasarkan penurunan rumus di atas, dapat dilihat hubungan antara beda baru, beda awal, dan banyak bilangan yang disiipkan. Dengan demikian, beda dari barisan yang terbentuk dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut :

b* = b k + 1

Keterangan :
b = beda barisan awal sebelum disisipi
b* = beda barisan baru yang terbentuk setelah disisipi
k = banyak bilangan yang disisipkan antara dua suku.

Contoh :
Diketahui barisan aritmatika : 2, 10, 18, 26. Jika di antara setiap dua suku barisan tersebut disisipkan tiga bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika baru, maka tentukan beda barisan yang terbentuk dan tuliskan barisan tersebut!

Pembahasan :
Dik : b = 10 - 2 = 8, k = 3
Dit : b* = .... ?

Beda barisan yang terbentuk :
⇒ b* = b/(k + 1)
⇒ b* = 8/(3 + 1)
⇒ b* = 8/4
⇒ b* = 2

Jadi, beda baru (beda dari barsian baru yang terbentuk) adalah 2. Dengan demikian, barisan aritmatika yang terbentuk adalah sebagai berikut : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26. Perhatikan huruf yang berwarna biru merupakan bilangan yang disisipkan.