Menentukan Suku ke n dari Barisan Deret Aritmatika Diketahui Acak

Jumlah Beberapa Suku Barisan Aritmatika. Seperti yang telah dibahas pada beberapa artikel sebelumnya, dalam barisan aritmatika terdapat beberapa variabel yang menjadi kajian khusus seperti suku pertama, suku tengah, suku ke-n, beda barisan, dan suku sisipan. Menentukan suku ke-n merupakan salah satu topik yang cukup sering dibahas dalam barisan aritmatika dan pembahasan tentang suku ke-n ini terdiri dari beberapa kondisi. Kondisi-kondisi tersebut dapat dilihat dari beberapa model soal tentang suku ke-n yang sering keluar dalam soal latihan atau soal ujian. Pada kesempatan ini,
Si Jeger akan membahasa satu lagi kondisi yang umum keluar dalam soal menentukan suku ke-n, yaitu jika jumlah beberapa sukunya diketahui.

A. Rumus Umum Suku ke-n

Secara umum, untuk menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika, maka konsep dasar yang diperlukan adalah rumus umum suku ke-n. Dengan bermodalkan rumus umum tesebut, biasanya soal-soal yang berhubungan dengan suku ke-n dapat diselesaikan dengan mudah. Dalam hal ini, tentu saja murid juga harus paam betul bagaimana pola barisan aritmatika.

Suku ke-n umumnya disimbolkan dengan Un dan dinyatakan dalam bentuk persamaan yang menunjukkan hubungannya dengan suku pertama, beda, dan banyak suku. Hubungan suku ke-n dengan suku pertama dan beda secara umum dinyatakan sebagai berikut:

Un = a + (n − 1)b

Keterangan :
Un = suku ke-n barisan aritmatka (n = 1, 2, 3, 4, ...)
a = suku pertama barisan aritmatika
b = beda barisan aritmatika.

Jika dalam soal diketahui suku pertama, beda barisan, dan banyak sukunya, maka suku ke-n barisan tersebut tentu sangat mudah ditentukan dengan cara mensubstitusi nilai a, b, dan n yang diketahui dalam soal ke rumus umum di atas. Lalu bagaimana jika a dan b tidak diketahui?

B. Jumlah Beberapa Suku Diketahui

Pada dasarnya, kita tetap dapat memanfaatkan rumus suku ke-n barisan aritmatika walaupun nilai a dan b tidak diketahui. Asal diketahui beberapa suku dalam barisan tersebut, maka kita dapat memanfaatkan rumus Un dan konsep sistem persaman linear dua variabel untuk menentukan suku ke-n.

Rumus Un juga dapat dimanfaatkan untuk menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika jika jumlah dari beberapa suku diketahui. Dalam hal ini, suku-suku tersebut biasanya merupakan suku-suku yang letaknya tidak berurutan.

Jika pada soal diketahui jumlah beberapa sukunya misalnya U₁ + U₄ + U₇ = x, maka suku ke-n barisan tersebut dapat ditentukan dengan cara mensubstitusi persamaan untuk masing-masing suku ke dalam penjumlahan tersebut sehingga dihasilkan sebuah persamaan linear dua variabel.

Pada kebanyakan soal, biasanya persamaan yang terbentuk itu merupakan jawaban untuk suku ke-n yang ditanya. Jadi, persamaan linear dua variabel (dalam variabel a dan b) yang terbentuk merupakan persamaan untuk suku ke-n yang dintanya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1 :
Dalam suatu barisan aritmatika, diketahui jumlah suku ke-2, suku ke-15, dan suku ke-40 adalah 165. Jika Un menyatakan suku ke-n barisan tersebut, maka tentukanlah suku ke-19 barisan itu!

Pembahasan :
Dik : U₂ + U₁₅ + U₄₀ =165
Dit : U₁₉ = .... ?

Persamaan untuk suku ke-2, masukkan n = 2 :
⇒ Un = a + (n − 1)b
⇒ U₂ = a + (2 − 1)b
⇒ U₂ = a + b

Persamaan untuk suku ke-15, masukkan n = 15 :
⇒ Un = a + (n − 1)b
⇒ U₁₅ = a + (15 − 1)b
⇒ U₁₅ = a + 14b

Persamaan untuk suku ke-40, masukkan n = 40 :
⇒ Un = a + (n − 1)b
⇒ U₄₀ = a + (40 − 1)b
⇒ U₄₀ = a + 39b

Substitusi persamaan U₂, U₁₅, dan U₄₀ ke penjumlahan suku sebabagi berikut :
⇒ U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165
⇒ (a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165
⇒ 3a + 54b = 165

Kedua ruas sama-sama dibagi 3, maka akan diperoleh :
⇒ a + 18b = 55

Nah, sekarang kembali ke soal. Pada soal kita diminta menentukan suku ke-19. Coba perhatikan persamaan yang kita peroleh pada langlah terakhir di atas. Persamaan a + 18b merupakan persamaan untuk suku ke-19. Dengan demikian berlaku :

Persamaan untuk suku ke-19, masukkan n = 19 :
⇒ Un = a + (n − 1)b
⇒ U₁₉ = a + (19 − 1)b
⇒ U₁₉ = a + 18b
⇒ U₁₉ = 55

Jadi, suku ke-19 barisan tersebut adalah 55. Soal seperti ini biasanya membuat murid bingung karena a dan b tidak dapat ditentukan sebab hanya ada satu persaman linear dua variabel yang terbentuk. Kebanyakan murid akan berhenti di langkah terakhir dan tidak sadar bahwa mereka sudah menemukan jawabannya.

Contoh 2 :
Jika U₁ + U₁₀ + U₁₉ = 96, maka tentukanlah suku ke-10 barisan aritmatika tersebut!

Pembahasan :
Dik : U₁ + U₁₀ + U₁₉ = 96
Dit : U₁₀ = .... ?

Persamaan untuk suku ke-10 :
⇒ U₁₀ = a + 9b

Substitusi persamaan untuk masing-masing suku :
⇒ U₁ + U₁₀ + U₁₉ = 96
⇒ a + (a + 9b) + (a + 18b) = 96
⇒ 3a + 27b = 96
⇒ a + 9b = 32
⇒ U₁₀ = 32
Jadi, suku kesepuluh barisan tersebut adalah 96.