Menghitung Persamaan Kuadrat Baru

#7 Rumus Umum Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Kunci utama dalam menyusun persamaan kuadrat baru adalah rumus jumlah dan hasil kali akar. Dengan memanfaatkan kedua rumus tersebut, kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru tanpa harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu.

Hasil dari jumlah akar dan hasil kali akar bergantung pada nilai koefisien a, b, dan c di dalam persamaan kuadrat awal yang diketahui yaitu ax² + bx + c = 0.

Nilai yang diperoleh dari jumlah dan hasil kali akar persamaan awal selanjutnya akan digunakan untuk menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akan disusun bergantung pada persamaan kuadrat awal yang diketahui sesuai dengan hubungan antar akar-akar kedua persamaan tersebut.

Secara sederhana, rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru adalah :

x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0

Biasanya akan ditulis menggunakan simbol tertentu misalnya :

x2 − (α + β) + α.β= 0

Degan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.

Jika dikembangkan lebih lanjut berdasarkan rumus awal jumlah akar dan hasil kali akar, maka dari rumus umum persamaan kuadrat baru tersebut akan kita lihat suatu rumus khusus yang dapat kita manfaatkan untuk menjawab soal-soal setipe.

Dengan kata lain, terdapat beberapa bentuk-bentuk khusus yang paling sering keluar dalam soal persamaan kuadrat. Nah, dengan memenafaatkan rumus umum, kita bisa menurunkan rumus khusus untuk tiap-tiap bentuk.

Dengan rumus khusus, kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru dengan lebih mudah dan dalam waktu yang lebih singkat. Akan tetapi, perlu diingat bahwa rumus khusus hanya berlaku untuk bentuk-bentuk tertentu dan kita harus menghafalnya agar tidak salah penggunaan.

Rumus Khusus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Dengan Akar x₁/x₂ dan x₂/x₁

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yang diketahui, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x₁/x₂ dan x₂/x₁) dapat ditentukan dengan rumus khusus yang diperoleh berdasarkan langkah-langkah berikut :

1. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat awal
2. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat awal
3. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru
4. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru
5. Susun persamaan kuadrat baru

Berdasarkan langkah di atas, maka hal pertama yang harus kita lakuan adalah mengulik persamaan kuadrat awalnya.

Persamaan Kuadrat Awal :
ax² + bx + c = 0

Jumlah akar : 

x1 + x2 = -b a

Hasil kali akar :

x1 . x2 = c a

Nilai a, b, dan c akan kita peroleh dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Kita sudah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal, langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.

Jumlah akar :

⇒ x1/x2 + x2/x1 =	x12 + x22
	x1 . x2

⇒ x1/x2 + x2/x1 =	(x1 + x2)2 − 2x1.x2
	x1 . x2

⇒ x1/x2 + x2/x1 =	(-b/a)2 − 2(c/a)
	c/a

⇒ x1/x2 + x2/x1 =	b2/a2 − 2c/a
	c/a

⇒ x₁/x₂ + x₂/x₁ = b²/ac − 2

Hasil kali akar :

⇒ x1/x2 . x2/x1 =	x1 . x2
	x1 . x2

⇒ x₁/x₂ . x₂/x₁ = 1

Selanjutnya kita susun persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus umumnya yaitu :
⇒ x² − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (b²/ac − 2)x + 1 = 0

Untuk menghilangan penyebutnya, kita kali persamaannya dengan ac :
⇒ acx² − (b² − 2ac)x + ac = 0

Jadi, rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x₁/x₂ dan x₂/x₁) adalah :

acx2 − (b2 − 2ac)x + ac = 0

Nilai a, b dan c kita peroleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax² + bx + c = 0.

Contoh Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x² + 2x + 4 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x₁/x₂ dan x₂/x₁).

Pembahasan :
Untuk membandingkan hasil yang akan kita peroleh, kita akan coba membahasa soal di atas menggunakan rumus umum dan rumus khusus.

Dengan Rumus Umum
Persamaan kuadrat awal : x² + 2x + 4 = 0
Dik : a = 1, b = 2, dan c = 4

Jumlah akar :
⇒ x₁ + x₂ = -b/a
⇒ x₁ + x₂ = -2/1
⇒ x₁ + x₂ = -2

Hasil kali akar :
⇒ x₁ . x₂ = c/a
⇒ x₁ . x₂ = 4/1
⇒ x₁ . x₂ = 4

Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x₁/x₂ dan x₂/x₁).

Jumlah akar :

⇒ x1/x2 + x2/x1 =	x12 + x22
	x1 . x2

⇒ x1/x2 + x2/x1 =	(x1 + x2)2 − 2x1.x2
	x1 . x2

⇒ x1/x2 + x2/x1 =	(-2)2 − 2(4)
	4

⇒ x1/x2 + x2/x1 =	4 − 8
	4

⇒ x₁/x₂ + x₂/x₁ = -1

Hasil kali akar :
⇒ x₁/x₂ . x₂/x₁ = (x₁ . x₂) /(x₁ . x₂)
⇒ x₁/x₂ . x₂/x₁ = 1


Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x₁/x₂ dan x₂/x₁ adalah :
⇒ x² − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (-1)x + 1 = 0
⇒ x² + x + 1 = 0

Dengan Rumus Khusus
Berdasarkan penguraian kita sebelumnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x₁/x₂ dan x₂/x₁) dapat ditentukan dengan rumus khusus yaitu :

acx2 − (b2 − 2ac)x + ac = 0

Dari soal diketahui a = 1, b = -2 dan c = 4, maka kita peroleh :
⇒ acx² − (b² − 2ac)x + ac = 0
⇒ 1(4)x² − {(-2)² − 2.1.(4)}x + 1(4) = 0
⇒ 4x² − (4 − 8)x + 4 = 0
⇒ 4x² + 4x + 4 = 0
⇒ x² + x + 1 = 0

#8. Rumus Umum Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru adalah :

x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0

Biasanya akan ditulis menggunakan simbol tertentu misalnya :

x2 − (α + β) + α.β= 0

Degan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.

Dari rumus di atas dapat kita lihat bahwa untuk menyusun persamaan kuadrat baru dari kuadrat sebelumnya kita tidak perlu mencari akar-akarnya terlebih dahulu.

Konsep utama yang harus kita kuasai hanyalah rumus jumlah dan hasil kali akar. Dengan demikian kita hanya perlu melihat nilai koefisien a, b, dan c pada persamaan kuadrat awal untuk menentukan jumlah dan hasil kali akarnya.

Selanjutnya, setelah jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal kita peroleh, maka kita akan menentukan jumlah dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru.

Bagaimana menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat barunya? Jumlah akar dan hasil kali persamaan kuadrat baru dapat kita tentukan berdasarkan hubungan akar-akarnya dengan akar-akar persamaan kuadrat yang sebelumnya.

Dengan kata lain, nilai jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru bergantung pada nilai jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat sebelumnya.

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akan kita susun berhubungan dengan persamaan kuadrat awal sesuai dengan hubungan akar-akar kedua persamaan tersebut. Untuk lebih jelasnya, kita akan bahas pada rumus khusus.

Rumus Khusus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Dengan Akar x₁ + x₂ dan x₁.x₂

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan jumlah dan hasil kali akar persamaan sebelumnya (x₁ + x₂ dan x₁.x₂) dapat ditentukan dengan rumus khusus yang diperoleh berdasarkan langkah-langkah berikut :

1. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat awal
2. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat awal
3. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru
4. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru
5. Susun persamaan kuadrat baru

Berdasarkan langkah di atas, maka hal pertama yang harus kita lakuan adalah mengulik persamaan kuadrat awalnya.

Persamaan Kuadrat Awal :
ax² + bx + c = 0

Jumlah akar :

x1 + x2 =  -b  a

Hasil kali akar :

x1 . x2 =  c a

Nilai a, b, dan c akan kita peroleh dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Kita sudah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal, langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.

Jumlah akar :
⇒ x₁ + x₂ + x₁.x₂ = (x₁ + x₂) + (x₁.x₂ )
⇒ x₁ + x₂ + x₁.x₂ = -b/a + c/a

Hasil kali akar :
⇒ x₁ + x₂ (x₁.x2) = -b/a (c/a)
⇒ x₁ + x₂ (x₁.x2) = -bc/a²

Selanjutnya, kita susun persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus umumnya yaitu :
⇒ x² − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (-b/a + c/a)x + (-bc/a²) = 0

Untuk menghilangan penyebutnya, kita kali persamaannya dengan a² :
⇒ a²x² + abx − acx − bc = 0
⇒ a²x² + (ab − ac)x − bc = 0

Jadi, rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁.x₂ adalah :

a2x2 + (ab − ac)x − bc = 0

Nilai a, b dan c kita peroleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax² + bx + c = 0.

Contoh Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x²  − 6x + 8 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁.x₂.

Pembahasan :
Untuk membandingkan hasil yang akan kita peroleh, kita akan coba membahas soal di atas menggunakan rumus umum dan rumus khusus.

Dengan Rumus Umum
Persamaan kuadrat awal : x² − 6x + 8 = 0
Dik : a = 1, b = -6, dan c = 8

Jumlah akar :
⇒ x₁ + x₂ = -b/a
⇒ x₁ + x₂ = -(-6)/1
⇒ x₁ + x₂ = 6

Hasil kali akar :
⇒ x₁ . x₂ = c/a
⇒ x₁ . x₂ = 8/1
⇒ x₁ . x₂ = 8

Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁.x₂.

Jumlah akar :
⇒ x₁ + x₂ + x₁.x₂ = 6 + 8
⇒ x₁ + x₂ + x₁.x₂ = 14

Hasil kali akar :
⇒ x₁ + x₂ (x₁.x2) = 6(8)
⇒ x₁ + x₂ (x₁.x2) = 48

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁.x₂ adalah :
⇒ x² − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (14)x + 48 = 0
⇒ x² − 14x + 48 = 0

Dengan Rumus Khusus
Berdasarkan penguraian kita sebelumnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan jumlah dan hasil kali akar persamaan sebelumnya (x₁ + x₂ dan x₁.x₂) dapat ditentukan dengan rumus khusus yaitu :

a2x2 + (ab − ac)x − bc = 0

Dari soal diketahui a = 1, b = -6 , dan c = 8, maka kita peroleh :
⇒ a²x² + (ab − ac)x − bc = 0
⇒ 1²x² + {1(-6) − 1(8)}x − (-6)(8) = 0
⇒ x² + (-6 − 8)x + 48 = 0
⇒ x² + (-14)x + 48 = 0
⇒ x² − 14x + 48 = 0

9# Rumus Umum Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru disusun berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar. Oleh karena itu kita, rumus jumlah dan hasil kali akar merupakan modal utama yang harus kita kuasai untuk menyusun persamaan kuadrat baru.

Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru adalah :

x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0

Biasanya akan ditulis menggunakan simbol tertentu misalnya :

x2 − (α + β) + α.β= 0

Degan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.

Dengan memanfaatkan rumus di atas, kita dapat menentukan persamaan kuadrat baru tanpa harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu.

Hanya dengan melihat jumlah akar dan hasil kali akar pada persamaan kuadrat awal, kita dapat menentukan persamaan kuadrat baru berdasarkan hubungan akar-akar dari kedua persamaan tersebut.

Prinsip kerja untuk menentukan persamaan kuadrat baru berdasarkan jumlah dan hasil kali akar cukup sederhana. Hal pertama yang harus kita lakukan adalah melihat nilai koefisien a, b, dan c pada persamaan kuadrat awal yang diketahui.

Selanjutnya, kita tentukan nilai dari jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal sesuai dengan harga a, b, dan c yang diketahui. Setelah itu, kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat barunya.

Jika jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru sudah diperoleh, maka kita tinggal menyusun persamaan kuadratnya sesuai dengan rumus umum di atas. Untuk lebih jelasnya, akan kita bahas pada rumus khusus.

Rumus Khusus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Dengan Akar (x₁³ dan x₂³)

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar-akar sebelumnya (x₁³ dan x₂³) dapat ditentukan dengan rumus khusus yang diperoleh berdasarkan langkah-langkah berikut :

1. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat awal
2. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat awal
3. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru
4. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru
5. Susun persamaan kuadrat baru

Berdasarkan langkah di atas, maka hal pertama yang harus kita lakukan adalah mengulik persamaan kuadrat awalnya.

Persamaan Kuadrat Awal :
ax² + bx + c = 0

Jumlah akar :

x1 + x2 =  -b  a

Hasil kali akar :

x1 . x2 =  c a

Nilai a, b, dan c akan kita peroleh dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Kita sudah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal, langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.

Jumlah akar :
⇒ x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³  − 3x₁.x₂(x₁ + x₂)
⇒ x₁³ + x₂³ = (-b/a)³  − 3(c/a)(-b/a)
⇒ x₁³ + x₂³ = -b³/a³  + 3bc/a²

Hasil kali akar :
⇒ x₁³ . x₂³ = (x₁ . x₂)³
⇒ x₁³ . x₂³ = (c/a)³
⇒ x₁³ . x₂³ = c³/a³

Selanjutnya, kita susun persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus umumnya yaitu :
⇒ x² − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (-b³/a³  + 3bc/a²)x + c³/a³ = 0

Untuk menghilangan penyebutnya, kita kali persamaannya dengan a³ :
⇒ a³x² + b³x − 3abcx + c³ = 0
⇒ a³x² + (b³  − 3abc)x + c³ = 0

Jadi, rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar-akar sebelumnya (x₁³ dan x₂³) adalah :

a3x2 + (b3  − 3abc)x + c3 = 0

Nilai a, b dan c kita peroleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax² + bx + c = 0.

Contoh Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x²  − 4x + 2 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Pembahasan :
Untuk membandingkan hasil yang akan kita peroleh, kita akan coba membahas soal di atas menggunakan rumus umum dan rumus khusus.

Dengan Rumus Umum
Persamaan kuadrat awal : x²  − 4x + 2 = 0
Dik : a = 1, b = -4, dan c = 2

Jumlah akar :
⇒ x₁ + x₂ = -b/a
⇒ x₁ + x₂ = -(-4)/1
⇒ x₁ + x₂ = 4

Hasil kali akar :
⇒ x₁ . x₂ = c/a
⇒ x₁ . x₂ = 2/1
⇒ x₁ . x₂ = 2

Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar-akar sebelumnya (x₁³ dan x₂³).

Jumlah akar :
⇒ x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³  − 3x₁.x₂(x₁ + x₂)
⇒ x₁³ + x₂³ = (4)³  − 3(2)(4)
⇒ x₁³ + x₂³ = 64 − 24
⇒ x₁³ + x₂³ = 40

Hasil kali akar :
⇒ x₁³ . x₂³ = (x₁ . x₂)³
⇒ x₁³ . x₂³ = (2)³
⇒ x₁³ . x₂³ = 8

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x₁³ dan x₂³) adalah :
⇒ x² − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (40)x + 8 = 0
⇒ x² − 40x + 8 = 0

Dengan Rumus Khusus
Berdasarkan penguraian kita sebelumnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar sebelumnya (x₁³ dan x₂³) dapat ditentukan dengan rumus khusus yaitu :

a3x2 + (b3  − 3abc)x + c3 = 0

Dari soal diketahui a = 1, b = -4  dan c = 2, maka kita peroleh :
⇒ a³x² + (b³  − 3abc)x + c³ = 0
⇒ 1³x² + {(-4)³  − 3(1)(-4)(2)}x + 2³ = 0
⇒ x² + (-64 + 24)x + 8 = 0
⇒ x² + (-40)x + 8 = 0
⇒ x² − 40x + 8 = 0

KEMBALI KE BAGIAN I