Contoh Soal Titik Stasioner Suatu Fungsi Beserta Jenis Ekstrimnya

Grafik di atas menggambarkan sebuah fungsi kuadrat y = f (x) = x2 – 1 dan mempunyai nilai minimum pada x = 0 karena f (0) = 0 – 1 = -1. Sekarang, coba kamu perhatikan dimana grafik tersebut naik dan turun. Turunan fungsi tersebut atau f ‘ (x) adalah f ‘ (x) = 2x. Dari grafik diperoleh:

untuk x = 0, maka f ‘ (0) = 0
untuk x < 0, maka f ‘ (x) < 0 
untuk x > 0, maka f ‘ (x) > 0

Untuk x < 0
Misal:
x = -1 → f ‘ (-1) = -2
x = -2 → f ‘ (-2) = -4
x = -3 → f ‘ (-3) = -6
⁞
x < 0 → f ‘ (x) < 0

Untuk x > 0
Misal:
x = 1 → f ‘ (1) = 2
x = 2 → f ‘ (2) = 4
x = 3 → f ‘ (3) = 6
⁞
x > 0 → f ‘ (x) > 0

       Ini berarti fungsi f turun di titik x < 0 dan naik di titik x > 0. Bagaimana dengan titik x = 0, apakah fungsi f naik ataukah turun di titik tersebut? Perhatikan kembali grafik di atas. Grafik tersebut menunjukkan bahwa di titik x = 0 yang merupakan titik minimum dari fungsi, fungsi f tidak naik maupun turun. Titik seperti ini dinamakan titik stasioner.

       Titik x = 0 merupakan titik maksimum fungsi. Dimanakah fungsi tersebut naik dan turun? Grafik di atas didefinisikan sebagai f (x) = - x2 . Turunan fungsi tersebut adalah f ‘ (x) = - 2x. Dari grafik diperoleh:

untuk x = 0, maka f ‘ (0) = 0
untuk x < 0, maka f ‘ (x) > 0 
untuk x > 0, maka f ‘ (x)< 0

       Mengapa untuk x < 0 nilai f ‘ (x) > 0, sedangkan untuk x > 0 nilai f ‘ (x) < 0? Mari simak jawabannya sebagai berikut.

Untuk x < 0
Misal:
x = -1 → f ‘ (-1) = 2
x = -2 → f ‘ (-2) = 4
x = -3 → f ‘ (-3) = 6
⁞
x < 0 → f ‘ (x) > 0

Untuk x > 0
Misal:
x = 1 → f ‘ (1) = -2
x = 2 → f ‘ (2) = -4
x = 3 → f ‘ (3) = -6
⁞
x > 0 → f ‘ (x) < 0.
Ini berarti, fungsi naik pada x < 0 dan turun pada x > 0. Pada titik x = 0 fungsi tidak naik dan tidak turun atau f ‘ (0) = 0, sehingga titik x = 0 merupakan titik stasioner dari fungsi tersebut. Dengan demikian, y = f (x) dikatakan stasioner pada x = a, jika f ‘ (a) = 0 dan diferensiabel di titik tersebut, serta nilai f (a) dinamakan nilai stasioner.

       Titik stasioner (f ‘ (x) = 0) adalah titik dimana fungsi tidak naik ataupun turun sehingga gradiennya adalah 0 atau garis singgungnya merupakan sebuah garis mendatar. Bagaimana dengan titik stasioner pada fungsi lain (bukan fungsi kuadrat) seperti pada fungsi kubik dan fungsi mutlak? Perhatikan penjelasan berikut ini.

• Fungsi f (x) = 2x3 digambarkan pada grafik di bawah ini.

Mari kita periksa keadaan saat fungsi tersebut naik, turun dan titik stasionernya.
f (x) = 2 x3 → f ‘ (x) = 6x2

Untuk:
x = 0 → f (0) = 0 dan f ‘ (0) = 0

Ini berarti, fungsi naik pada x < 0 atau x > 0 dan titik x = 0 merupakan titik stasioner merupakan titik stasioner namun bukan merupakan titik ekstrem (maksimum atau minimum) fungsi tersebut.

• Fungsi y = f (x) = |x| digambarkan pada grafik di bawah ini.

Ini berarti, f ‘ (x) = 1 untuk x > 0 dan f ‘ (x) = -1 untuk x < 0.

Untuk x = 0

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, maka diketahui bahwa limit fungsi tersebut tidak ada sehingga f ‘ (0) tidak terdiferensialkan. Jadi, dapat disimpulkan bahwa untuk f (x) = |x|, f (x) naik pada x > 0 dan f (x) turun pada x < 0, dan titik x = 0 bukan merupakan titik stasioner.