Transformasi Lorentz

Steven yang berada pada kerangka acuan inersia S, sedangkan Camelia berada pada kerangka acuan bergerak, S’. Kerangka acuan S’ ini bergerak sepanjang sumbu X’ positif dengan kecepatan v relatif terhadap Steven.

Pada suatu tempat terjadi ledakan kecil. Menurut Steven peristiwa ini terjadi pada koordinat ruang dan waktu (x, y, z, t), sedangkan menurut Camelia peristiwa ini terjadi pada koordinat ruang dan waktu (x’, y’, z, t,). Agar seluruh koordinat memiliki dimensi yang sama, maka kita kalikan koordinat waktu dengan c (kecepatan cahaya), sehingga penulisan koordinat peristiwa itu menjadi (x, y, z, ct) untuk Steven dan (x’, y’, z’, ct’) untuk Camelia.

Untuk mencari hubungan antara (x, y, z, ct) dan (x’, y’, z’, ct’), kita tuliskan x’ sebagai kombinasi linier dari x, y, z dan ct.

x’ = a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z + a₁₄ ct

dengan a₁₁, a₁₂, a₁₃ dan a₁₄ adalah konstanta yang hendak dicari. Mengapa hanya diambil suku linear dari z, y, z, dan ct? Bagaimana dengan suku x², y², z², x³, dan seterusnya?

Hubungan antara x’, y’, z’ dan ct’ dengan x, y, z, ct dapat ditulis sebagai berikut:

x’ = a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z + a₁₄ ct

y’ = a₂₁x + a₂₂y + a₂₃z + a₂₄ ct

z’ = a₃₁x + a₃₂y + a₃₃z + a₃₄ ct

ct’ = a₄₁x + a₄₂y + a₄₃z + a₄₄ ct                       (1)

ke-16 koefisien a_ij dapat ditentukan dengan menggunakan dua postulat Einstein.

Postulat 1: hukum fisika sama dalam semua kerangka inersial. Dengan postulat ini maka kita boleh mengatan y’ = y dan z’ = z.

Misalnya Steven dan Camelia mengamati batu yang jatuh bebas dari ketinggian y₀. Camelia bergerak dengan kecepatan v ke arah sumbu X positif sedangkan Steven diam. Karena Steven dan Camelia keduanya berada dalam kerangka acuan inersial, maka menurut postulat 1, Steven dan Camelia akan melihat batu jatuh dengan hukum yang sama yaitu rumus y = y₀ – ½ gt². Jadi y = y’ dan z = z’.

Kondisi y = y’ dan z = z’ akan memberikan a₂₂ = a₃₃ = 1 dan a₂₁ = a₂₃ = a₂₄ = a₃₁ = a₃₂ = a₃₄ = 0. Dengan demikian persamaan 1 menjadi

x’ = a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z + a₁₄ ct

y’ = y

z’ = z

ct’ = a₄₁x + a₄₂y + a₄₃z + a₄₄ ct            (2)

perhatikan persamaan terakhir dari persamaan 2. Jika a₄₂ tidak sama dengan nol, makajam yang diletakkan pada posisi y’ dan -y’ akan mencatat hasil yang berbeda. Bayangkan ada dua jam yang dipegang Camelia tapi menunjukkan angka yang terus berbeda-beda, Ini tidak logis! Demikian juga jika koefisien a₄₃ tidak nol maka jam yang diletakkan pada posisi z’ dan – z’ akan mencatat waktu yang berbeda. Jadi dapat disimpulkan bahwa

a₄₂ = 0

a₄₃ = 0

sekarang perhatikan persamaan pertama dari persamaan 2. Misalnya pada t = 0, posisi pusat koordinat kerangka S’ berimpit dengan pusat koordinat kerangka S(x’ = x = 0). Ketika waktu dalam kerangka S menunjukkan t, posisi suatu titik pada x’ = 0 dalam kerangka S adalah x = vt. Gunakan hasil ini pada persamaan 2, kita dapatkan

x’ = a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z + a₁₄ ct

0 = a₁₁ vt + a₁₂y + a₁₃z + a₁₄ ct

0 = (a₁₁v + a₁₄c)t + a₁₂y + a₁₃z

Karena t, y dan z tidak saling bergantungan, maka persamaan di atas akan dipenuhi hanya jika:

a₁₄c = -a₁₁v

a₁₂ = a₁₃ = 0

dengan demikian kita mempunyai persamaan berikut:

x’ = a₁₁(x – vt)

y’ = y

z’ = z

ct’ = a₄₁x + a₄₄ ct      (2)

untuk menentukan koefisien a₁₁, a₄₁, dan a­₄₄ kita gunakan postulat 2: yang mengatakan bahwa: kelajuan cahaya sama pada setiap kerangka inersial.

Perhatikan gambar 2a. Pada gambar gelombang elektromagnetik dipancarkan ketika S dan S’ berimpit (ketika t = 0). Gelombang dipancarkan dari O’ (=O), dan merambat ke segalah arah.

Menurut Camelia yang berada pada S’, setelah waktu t’ gelombang mencapai titik P(x’, y’, z’). Jika dalam kerangka ini kelajuan cahaya sama dengan c, maka panjang lintasan O’P sama dengan ct’,

Steven yang berada di kerangka S mencatat gelombang ini mencapai titik P dalam waktu t, dan menurut Steven posisi titik P adalah (x, y, z). Jika kelajuan cahaya dalam kerangka ini juga sama dengan c, maka jarak OP menurut pengamat ini sama dengan ct.

Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (*) maka

Agar persamaan ini sama dengan persamaan (**) maka,

Dari ketiga persamaan di atas kita peroleh,

Dengan demikian kita peroleh rumus transformasi Lorentz,

Untuk menyederhanakan penulisan di atas dapat dituliskan:

Sehingga persamaan-persamaan di atas dapat ditulis sebagai,

Bagaimana menyatakan posisi x dalam suku x’, y’, z’ dan ct’?? kita boleh mengikuti prosedur di atas atau cukup mengganti tanda aksen menjadi tidak dan sebaliknya serta mengambil kecepatan kerangka menjadi –v,

Jika v << c maka suku v²/c² dapat diabaikan, dan γ ≈ 1, pada kondisi ini transformasi Lorentz menjadi,

Ternyata pada kelajuan rendah transformasi Lorentz berubah menjadi transformasi Galileo. Hal penting yang perlu diingat dari transformasi Lorentz adalah rumus transformasi Lorentz hanya berlaku untuk kondisi di mana x(0) = x’(0) = 0, yaitu kerangka S dan S’ berimpit ketika t = 0.