Rumus Cepat Menghitung Luas Segitiga

Jeger

September 30, 2016

Posting Komentar

komentar teratas

Terbaru dulu

Luas Segitiga Diketahui 3 Sisi

Jika panjang ketiga sisi pada segitiga siku-siku diketahui, maka luas segitiga siku-siku tersebut dapat dihitung dengan mudah menggunakan rumus luas segitiga berdasarkan panjang alasa dan tingginya. Lalu bagaimana dengan segitiga sebarang yang tidak diketahui tingginya? Untuk segitiga sebarang, jika panjang ketiga sisinya diketahui, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus yang diturunkan menggunakan konsep trigonometri. Konsep trigonometri yang digunakan untuk menurunkan rumus tersebut adalah identitas trigonometri dan aturan cosinus. Pada kesempatan ini, si Jeger hanya akan membahas rumus untuk menentukan luas segitiga jika panjang ketiga sisinya diketahui, namun tidak membahas penurunan atau pembuktian rumusnya. Penurunan rumus hanya dibahas sercara ringkas.

Rumus Keliling Segitiga

Setelah diturunkan berdasarkan konsep identitas trigonometri dan aturan kosinus, ternyata rumus luas segitiga yang panjang ketiga sisinya diketahui berhubungan dengan rumus keliling segitiga. Seperti yang kita tahu, keliling segitiga sama dengan jumlah dari panjang ketiga sisinya.

Misal diberi segitiga ABC dengan sudut A, B, dan C. Jika a, b, dan c adalah sisi-sisi pada segitiga tersebut yang berada di hadapan sudut A, B, dan C, maka keliling segitiga dapat dihitung dengan rumus :

K = a + b + c

Luas Segitiga Jika Ketiga Sisi Diketahui

Misal diberi segitiga sembarang ABC dengan sudut A, B, dan C. Jika panjang sisi a, panjang sisi b, dan panjang sisi c diketahui, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus yang diperoleh dari rumus yang dibahas sebelumnya.

Sebelumnya telah dibahas rumus menentukan luas segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut. Jika pada segitiga ABC diketahui panjang sisi b, besar sudut A, dan panjang sisi c (b-A-c), maka luas segitiga dihitung dengan rumus berikut :
⇒ L = ½ bc sin A ....(1)

Selanjutnya, nilai sin A diperoleh berdasarkan identitas trigonometri:
⇒ sin² A + cos² A = 1
⇒ sin² A = 1 - cos² A
⇒ sin² A = (1 + cos A)(1 - cos A) ......(2)

Selanjutnya kembali ingat aturan cosinus, sebagai berikut:

⇒ cos A =	b² + c² - a²
	2bc

Selanjutnya substitusi cos A dari aturan cosinus ke persamaan (2) sehingga dihasilkan persamaan (3) sebagai berikut :
⇒ sin² A = (1 + cos A)(1 - cos A)
⇒ sin² A = (1 + (b² + c² - a²)/2bc)(1 - (b² + c² - a²)/2bc)

⇒ sin² A =	(a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c)
	(2bc)²

⇒ sin A =	1	√(a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c)
	2bc

Perhatikan pada persamaan di atas, a + b + c adalah keliling segitiga. Jika dihubungkan dengan setengah keliling segitiga (s), maka berlaku :
⇒ s = ½(a + b + c)
⇒ 2s = (a + b + c)
⇒ (a + b + c) = 2s ...... (4)

Berdasarkan persamaan (4), maka persamaan (3) dapat diubah menjadi:

⇒ sin A =	1	√2s . 2(s - a) . 2(s - c) . 2(s - b)
	2bc

⇒ sin A =	1	√16 s(s - a)(s - c)(s - b)
	2bc

⇒ sin A =	4	√s(s - a)(s - c)(s - b)
	2bc

⇒ sin A = 2/bc √s(s - a)(s - b)(s - c)

Selanjutnya, substitusi sin A di atas ke persamaan (1) :
⇒ L = ½ bc sin A
⇒ L = ½ bc {2/bc √s(s - a)(s - b)(s - c)}
⇒ L = √s(s - a)(s - b)(s - c)

Jadi, luas segitiga sembarang yang panjang ketiga sisinya diketahui dapat dihitung dengan rumus berikut:

L = √s(s - a)(s - b)(s - c)

Dengan :
L = luas segitiga
s = setengah keliling segitiga = ½(a + b + c)
a = panjang sisi a
b = panjang sisi b
c = panjang sisi c

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 6 cm, panjang sisi b = 4 cm, dan panjang sisi c = 8 cm. Hitunglah luas segitiga tersebut!

Pembahasan :
Dik : a = 6 cm, b = 4 cm, c = 8 cm
Dit : L = .... ?

Pertama kita hitung dulu setengah keliling segitiganya :
⇒ s = ½ (a + b + c)
⇒ s = ½ (6 + 4 + 8)
⇒ s = ½ (18)
⇒ s = 9 cm

Berdasarkan rumus luas di atas :
⇒ L = √s(s - a)(s - b)(s - c)
⇒ L = √9 (9 - 6)(9 - 4)(9 - 8)
⇒ L = √9 (3)(5)(1)
⇒ L = √9 (3)(5)(1)
⇒ L = √135
⇒ L = 11,6 cm²

Jadi, luas segitiga tersebut adalah 11,6 cm².

Luas Segitiga Diketahui 1 Sisi 2 Sudut

Luas segitiga dapat dengan mudah ditentukan jika panjang alas dan tingginya diketahui. Lalu bagaimana jika yang diketahui hanya panjang dua sisinya dan besar satu sudutnya? Untuk menentukan luas segitiga jika yang dietahui hanya panjang dua sisi dan besar satu sudutnya saja, maka kita dapat menggunakan konsep trigonometri dengan melihat hubungan antara besar sudut dan panjang sisi dalam segitiga tersebut. Konsep trigonomteri yang akan kita gunakan dalam pembahasan ini adalah nilai sinus sudut. Dalam segitiga dikenal istilah sudut di hadapan, yaitu sudut yang berada di hadapan sisi segitiga dan sudut apit, yaitu sudut yang diapit oleh dua sisi segitiga. Berdasarkan konsep tersebut maka si Jeger akan membahas dua cara menentukan luas segitiga jika panjang dua sisi dan besar salah satu sudutnya diketahui.

Luas Segitiga Jika Diketahui Sisi-Sudut-Sisi

Misal diberikan sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi masing-masing a, b, dan c. Pada segitiga tersebut, sudut A berada di hadapan sisi a, sudut B berada di hadapan sisi b, dan sudut C berada di hadapan sisi c. Jika diketahui sisi-sudur-sisi itu artinya sudut yang diketahui adalah sudut apit yang berada di antara dua sisi.

Pada segitiga ABC diketahui sudut A berada di antara sisi b dan c, sudut B berada di antara sisi a dan c, dan sudut C berada di antara sisi a dan b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah. Pada gambar terlihat jelas hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga.

Karena pada segitiga terdapat tiga sisi dan tiga sudut, maka ada tiga kemungkinan untuk kondisi sisi-sudut-sisi yang diketahui, yaitu:
1. Sisi-sudut-sisi : b-A-c
2. Sisi-sudut-sisi : a-B-c
3. Sisi-sudut-sisi : a-C-b

#1 Luas Segitiga Jika b-A-c diketahui
Misal diberikan segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, c dan besar sudut A, B, dan C. Jika panjang sisi b, sisi c, dan besar sudut A diketahui, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus berikut:

L = ½ bc sin A

Dengan :
L = luas segitiga
b = panjang sisi AC
c = panjang sisi AB
A = besar sudut yang dibentuk sisi b dan c

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi b dan sisi c berturut-turut adalah 8 cm dan 10 cm. Jika besar sudut A adalah 37^o, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :
Dik : b = 8 cm, c = 10 cm, A = 37^o
Dit : L = ... ?

Berdasarkan rumus di atas:
⇒ L = ½ bc sin A
⇒ L = ½ (8)(10) sin 37^o
⇒ L = 40 (3/5)
⇒ L = 24 cm²

Jadi, luas segitiga ABC tersebut adalah 24 cm².

#2 Luas Segitiga Jika a-B-c diketahui
Misal diberikan segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, c dan besar sudut A, B, dan C. Jika panjang sisi a, sisi c, dan besar sudut B diketahui, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus berikut:

L = ½ ac sin B

Dengan :
L = luas segitiga
a = panjang sisi BC
c = panjang sisi AB
B = besar sudut yang dibentuk sisi a dan c

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a dan sisi c berturut-turut adalah 6 cm dan 9 cm. Jika besar sudut B adalah 53^o, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :
Dik : a = 6 cm, c = 9 cm, B = 53^o
Dit : L = ... ?

Berdasarkan rumus di atas:
⇒ L = ½ ac sin B
⇒ L = ½ (6)(9) sin 53^o
⇒ L = 27 (4/5)
⇒ L = 21.6 cm²

Jadi, luas segitiga ABC tersebut adalah 21.6 cm².

#3 Luas Segitiga Jika a-C-b diketahui
Misal diberikan segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, c dan besar sudut A, B, dan C. Jika panjang sisi a, sisi b, dan besar sudut C diketahui, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus berikut:

L = ½ ab sin C

Dengan :
L = luas segitiga
a = panjang sisi BC
b = panjang sisi AC
C = besar sudut yang dibentuk sisi a dan b

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a adalah 4 cm dan panjang sisi b adalah 12 cm. Jika besar sudut C adalah 30^o, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :
Dik : a = 4 cm, b = 12 cm, C = 30^o
Dit : L = ... ?

Berdasarkan rumus di atas:
⇒ L = ½ ab sin C
⇒ L = ½ (4)(12) sin 30^o
⇒ L = 24 (0,5)
⇒ L = 12 cm²

Jadi, luas segitiga ABC tersebut adalah 12 cm².

Luas Segitiga Jika Diketahui Sisi-Sisi-Sudut

Rumus sebelumnya digunakan jika sudut yang dikathui adalah sudut di antara dua sisi yang diketahui. Lalu bagaimana jika sudut yang diketahui adalah sudut yang berada di hadapan salah satu sisi yang diketahui. Misal diketahui sisi a, sisi b, dan sudut B (sudut B berada di hadapan sisi b).

Jika yang diketahui adalah sisi-sisi-sudut, maka kita harus mencari besar sudut di antara kedua sisi yang diketahui terlebih dahulu. Misal yang diketahui sisi a dan sisi b, maka kita harus mencari besar sudut C terlebih dahulu. Setelah itu luas segitiga dihitung dengan rumus Sisi-Sudut-Sisi yang bersesuaian.

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a dan b berturut-turut adalah 5 cm dan 6 cm. Jika besar sudut A adalah 30^o, maka tentukan luas segitiga tersebut.

Pembahasan :
Dik : a = 5 cm, b = 6 cm, A = 30^o
Dit : L = ... ?

Pertama kita tentukan besar sudut B dengan aturan sinus:
⇒ a /sin A = b /sin B
⇒ a sin B = b sin A
⇒ sin B = b/a sin A
⇒ sin B = 6/5 sin 30^o
⇒ sin B = 6/5 (0,5)
⇒ sin B = 3/5
⇒ sin B = 37^o

Selanjutnya kita tentukan besar sudut C:
⇒ A + B + C = 180^o
⇒ C = 180^o - (A + B)
⇒ C = 180^o - (30^o + 37^o)
⇒ C = 180^o - 67^o
⇒ C = 113^o

Hitung luas segitiga dengan rumus a-C-b :
⇒ L = ½ ab sin C
⇒ L = ½ (5)(6) sin 113^o
⇒ L = 15 (0,92)
⇒ L = 13,8 cm²

Jadi, luas segitiga tersebut adalah 13,8 cm².

Luas Segitiga Diketahui 2 Sisi 1 Sudut

Luas sebuah segitiga sembarang yang panjang salah satu sisinya dan besar dua sudutnya diketahui dapat ditentukan dengan memanfaatkan konsep trigonometri. Konsep yang akan digunakan dalam pembahasan ini adalah konsep aturan sinus yang menunjukkan perbandingan antara panjang sisi dengan sinus sudut di hadapannya. Selain itu, rumus untuk menentukan luas segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi juga diturunkan dari rumus yang telah dibahas pada artikel sebelumnya, yaitu rumus menentukan luas segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut. Untuk itu, agar dapat memahami pembahasa ini dengan baik, anda harus terlebih dahulu memahami konsep segitiga yaitu tentang sudut dan sisi sehadap serta aturan sinus. Karena segitiga memiliki tiga sisi dan tiga sudut, maka akan ada tiga kemungkinan kondisi untuk unsur yang diketahui sehingga akan ada tiga rumus yang dibahas.

Luas Segitiga Jika Diketahui B-a-C

Misal diberikan sebuah segitiga ABC dengan sudut A, B, dan C, serta mempunyai sisi-sisi a, b, dan c. Sesuai konsep yang dipelajari sebelumnya, sudut A berada di hadapan sisi a, sudut B berada di hadapan sisi b, dan sudut C berada di hadapan sisi c.

Simbol B-a-C menunjukkan urutan sudut-sisi-sudut yang diketahui. Dari urutan tersebut dapat dilihat bahwa sisi yang diketahui adalah sisi yang terletak di antara dua sisi yang diketahui panjangnya. Dengan kata lain, B-a-C menandakan bahwa sisi a berada di antara sudut B dan sudut C.

Jika pada segitiga ABC, yang diketahui adalah B-a-C, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus berikut :

L =	a² sin B sin C
	2 sin A

Dengan :
A, B, C = besar sudut A, besar sudut B, dan besar sudut C
a = panjang sisi di antara sudut B dan C
L = luas segitiga

Pada rumus di atas dapat kita lihat bahwa sebenarnya kita harus mengetahui besar ketiga sudut segitiga. Oleh karena itu, langkah pertama yang harus kita lakukan adalah menentukan besar sudut yang tidak diketahui terlebih dahulu.

Contoh Soal :
Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut adalah 30^o dan 37^o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut adalah 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :
Dik : B = 30^o, C = 37^o, a = 8 cm
Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :
⇒ A + B + C = 180^o
⇒ A = 180^o - (B + C)
⇒ A = 180^o - (30^o + 37^o)
⇒ A = 180^o - 67^o
⇒ A = 113^o

Berdasarkan rumus di atas :

⇒ L =	a² sin B sin C
	2 sin A

⇒ L =	8² sin 30^o sin 37^o
	2 sin 113^o

⇒ L =	64 (0,5) (0,6)
	2 (0,92)

⇒ L =	19,2
	1,84

⇒ L = 10,4² cm

Jadi, luas segitiga tersebut adalah 10,4² cm.

Luas Segitiga Jika Diketahui A-b-C

Jika pada segitiga ABC, yang diketahui adalah A-b-C, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus berikut :

L =	b² sin A sin C
	2 sin B

Dengan :
A, B, C = besar sudut A, besar sudut B, dan besar sudut C
b = panjang sisi di antara sudut A dan C
L = luas segitiga

Contoh Soal :
Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut A dan C berturut-turut adalah 53^o dan 30^o. Jika panjang sisi di hadapan sudut B adalah 6 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :
Dik : A = 53^o, C = 30^o, b = 6 cm
Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut B :
⇒ A + B + C = 180^o
⇒ B = 180^o - (A + C)
⇒ B = 180^o - (53^o + 30^o)
⇒ B = 180^o - 83^o
⇒ B = 97^o

Berdasarkan rumus di atas :

⇒ L =	b² sin A sin C
	2 sin B

⇒ L =	6² sin 53^o sin 30^o
	2 sin 97^o

⇒ L =	36 (0,8) (0,5)
	2 (0,99)

⇒ L =	14,4
	1,98

⇒ L = 7,27 cm²

Jadi, luas segitiga tersebut adalah 7,27 cm².

Luas Segitiga Jika Diketahui A-c-B

Jika pada segitiga ABC, yang diketahui adalah A-c-B, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus berikut :

L =	c² sin A sin B
	2 sin C

Dengan :
A, B, C = besar sudut A, besar sudut B, dan besar sudut C
c = panjang sisi di antara sudut A dan B
L = luas segitiga

Contoh Soal :
Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut A dan B berturut-turut adalah 60^o dan 37^o. Jika panjang sisi c adalah 12 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :
Dik : A = 60^o, B = 37^o, c = 12 cm
Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut B :
⇒ A + B + C = 180^o
⇒ C = 180^o - (A + B)
⇒ C = 180^o - (60^o + 37^o)
⇒ C = 180^o - 97^o
⇒ C = 83^o

Berdasarkan rumus di atas :