Contoh Soal dan Penyelesaian Dalil/Aturan Cosinus
Contoh soal dan pembahasan tentang aturan cosinus ini disusun untuk membantu murid dalam mempelajari aturan cosinus dan penggunaannya dalam segitiga. Soal-soal ini disusun berdasarkan pembahasan aturan cosinus yang telah dibahas sebelumnya. Dengan contoh soal ini diharapkan murid dapat menambah pemahamannya tentang aturan cosinus. Contoh soal aturan cosinus ini terdiri dari beberapa model soal yaitu menentukan rumus aturan cosinus yang belaku untuk sebuah segitiga, menentukan panjang sisi segitiga dengan aturan cosinus, dan menentukan besar sudut segitiga berdasarkan aturan cosinus. Jika anda belum memahami konsep aturan cosinus anda bisa membaca artikel sebelumnya tentang rumus aturan cosinus dan penggunaannya melalui link yang tersedia.
Soal 1
Sebuah segitiga ABC memiliki tiga sisi yaitu a, b, dan c. Jika sudut A, B, dan C adalah tiga sudut yang berada di hadapan sisi a, b, dan c, maka aturan cosinus yang berlaku untuk segitiga tersebut adalah ....
A. a2 = b2 + c2 − 2ac cos A
B. b2 = a2 − c2 + 2ac cos B
C. b2 = a2 + c2 − 2ab cos B
D. c2 = a2 + b2 − 2ac cos C
E. a2 − b2 = c2 − 2bc cos A
Pembahasan :
Aturan cosinus merupakan aturan yang menunjukkan hubungan antara sisi-sisi segitiga dengan nilai cosinus salah satu sudutnya. Aturan ini diapat digunakan untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut dalam segitiga.
Pada segitiga ABC berlaku aturan cosinus sebagai berikut:
Dari kelima opsi yang diberikan, opsi E adalah bentuk lain dari:
⇒ a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
⇒ a2 − b2 = c2 − 2bc cos A
Soal 2
Jika pada segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c, maka berdasarkan aturan cosinus, besar sudut B dapat dihitung dengan rumus .....
A. cos B = (a2 + c2 − b2) / 2ac
B. sin B = (a2 + c2 − b2) / 2ac
C. cos B = (a2 + c2 − b2) / 2ab
D. cos B = (a2 + c2 + b2) / ac
E. cos B = (a2 − c2 − b2) / 2ac
Pembahasan :
Misal diberi segitiga ABC dengan sisi-sisinya a, b, dan c dan sudut-sudutnya A, B, dan C. Jika panjang a, b, dan c diketahui, maka besar sudut B dapat dihitung dengan rumus berikut:
⇒ b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
⇒ 2ac cos B = a2 + c2 − b2
⇒ cos B = (a2 + c2 − b2) / 2ac
Dalam segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 7 cm, b = 8 cm, dan c = 9cm. Besar sudut di hadapan sisi terpendek adalah ....
A. 38,2o
B. 40,2o
C. 48,2o
D. 49,4o
E. 51,2o
Pembahasan :
Dik : a = 7 cm, b = 8 cm, dan c = 9cm
Dit : A = ...?
Berdasarkan aturan cosinus:
⇒ cos A = (b2 + c2 − a2) / 2bc
⇒ cos A = (82 + 92 − 72) / 2(8)(9)
⇒ cos A = (64 + 81 − 49) / 144
⇒ cos A = 96/144
⇒ cos A = 0,666
⇒ A = 48,2o
Jadi, besar sudut di hadapan sisi terpendek adalah 48,2o.
Soal 4
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a dan b berturut-turut 5 cm dan 6 cm. Jika besar sudut C adalah 52o, maka panjang sisi c adalah ....
A. 4,9 cm
B. 5,1 cm
C. 6,3 cm
D. 7,1 cm
E. 7,6 cm
Pembahasan :
Dik : a = 5 cm, b = 6 cm, C = 52o
Dit : c = ... ?
Berdasarkan aturan cosinus :
⇒ c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
⇒ c2 = 52 + 62 − 2(5)(6) cos 52o
⇒ c2 = 25 + 36 − 60 (0,615)
⇒ c2 = 61 − 36,9
⇒ c2 = 24,1
⇒ c = 4,9 cm
Jadi, panjang sisi c adalah 4,9 cm.
Soal 5
Dalam segitiga ABC panjang a adalah dua kali panjang c dan besar sudut di hadapan sisi b adalah 48o. Jika panjang c adalah 4 cm, maka panjang sisi b sama dengan ....
A. 4,8 cm
B. 5,2 cm
C. 5,6 cm
D. 6,1 cm
E. 6,4 cm
Pembahasan :
Dik : a = 2c, c = 4 cm, B = 48o
Dit : b = ... ?
Berdasarkan aturan cosinus:
⇒ b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
⇒ b2 = (2c)2 + c2 − 2(2c)c cos B
⇒ b2 = 4c2 + c2 − 4c2 cos B
⇒ b2 = 5c2 − 4c2 cos B
⇒ b2 = 5(4)2 − 4(4)2 cos 48o
⇒ b2 = 80 − 64 (0,669)
⇒ b2 = 80 − 42,8
⇒ b2 = 37,2
⇒ b = 6,1 cm
Jadi, panjang sisi b adalah 6,1 cm.
Soal 6
Jika panjang sisi a dalam segitiga ABC adalah setengah dari panjang sisi b dan besar sudut C adalah 60o, maka hubungan antara panjang sisi a dan c yang benar adalah ....
A. c = 3a
B. c = √3 a
C. c = 3a2
D. c = √3 a2
E. c = 4a2
Pembahasan :
Dik : b = 2a, C = 60o
Dit : c = ....a?
Berdasarkan aturan cosinus:
⇒ c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
⇒ c2 = a2 + (2a)2 − 2a(2a) cos 60o
⇒ c2 = a2 + 4a2 − 4a2(0,5)
⇒ c2 = 5a2 − 2a2
⇒ c2 = 3a2
⇒ c = √3 a
Soal 7
Jika pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a, b, dan c berturut-turut adalah 7 cm, 8 cm, dan 9 cm, maka jumlah besar sudut A + C adalah ....
A. 121,6o
B. 124,6o
C. 126,3o
D. 128,1o
E. 131,6o
Pembahasan :
Dik : a = 7 cm, b = 8 cm, c = 9 cm
Dit : A + C = ... ?
Berdasarkan aturan cosinus:
⇒ cos B = (a2 + c2 − b2) / 2ac
⇒ cos B = (72 + 92 − 82) / 2(7)(9)
⇒ cos B = (49 + 81 − 64) / 126
⇒ cos B = 66 / 126
⇒ cos B = 0,523
⇒ B = 58,4o
Berdasarkan jumlah sudut segitiga:
⇒ A + B + C = 180o
⇒ A + C = 180o - B
⇒ A + C = 180o - 58,4o
⇒ A + C = 121,6o
Jadi, jumlah sudut A + C adalah 121,6o.
Soal 8
Jika panjang a, b, dan c dalam segitiga ABC berturut-turut adalah 8 cm, 7 cm, dan 4 cm, maka besar sudut A adalah ...
A. 37o
B. 46o
C. 68o
D. 89o
E. 103o
Pembahasan :
Dik : a = 8 cm, b = 7 cm, c = 4 cm
Dit : A = ... ?
Berdasarkan aturan cosinus:
⇒ cos A = (b2 + c2 − a2) / 2bc
⇒ cos A = (72 + 42 − 82) / 2(7)(4)
⇒ cos A = (49 + 16 − 64) / 56
⇒ cos A = 1/56
⇒ cos A = 0,017
⇒ A = 89o
Jadi, besar sudut A adalah 89o.
Soal 9
Jika pada segitiga ABC berlaku hubungan a2 = b2 + c2 − √2bc, maka besar sudut A adalah ...
A. 35o
B. 45o
C. 53o
D. 60o
E. 75o
Pembahasan :
Berdasarkan aturan cosinus panjang sisi a dapat dihitung dengan rumus
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
Karena pada soal diketahui a2 = b2 + c2 − √2bc, maka berlaku:
⇒ 2bc cos A = √2bc
⇒ cos A = (√2bc) / 2bc
⇒ cos A = ½√2
⇒ A = 45o
Jadi, besar sudut A adalah 45o.
Soal 10
Jika pada segitiga ABC berlaku a2 = b2 + c2 − √3bc dan c2 = a2 + b2 − ab, maka besar sudut B adalah ...
A. 30o
B. 45o
C. 90o
D. 95o
E. 105o
Pembahasan :
Berdasarkan aturan cosinus panjang sisi a dapat dihitung dengan rumus
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
Karena pada soal diketahui a2 = b2 + c2 − √3bc, maka berlaku:
⇒ 2bc cos A = √3bc
⇒ cos A = (√3bc) / 2bc
⇒ cos A = ½√3
⇒ A = 30o
Berdasarkan aturan cosinus panjang sisi c dapat dihitung dengan rumus
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
Karena pada soal diketahui c2 = a2 + b2 − ab, maka berlaku:
⇒ 2ab cos C = ab
⇒ cos C = (ab) / 2ab
⇒ cos C = ½
⇒ C = 60o
Berdasarkan jumlah sudut segitiga:
⇒ A + B + C = 180o
⇒ B = 180o - (A + C)
⇒ B = 180o - (30o + 60o)
⇒ B = 180o - 90o
⇒ B = 90o
Jadi, besar sudut B adalah 90o.
Sebuah segitiga ABC memiliki tiga sisi yaitu a, b, dan c. Jika sudut A, B, dan C adalah tiga sudut yang berada di hadapan sisi a, b, dan c, maka aturan cosinus yang berlaku untuk segitiga tersebut adalah ....
A. a2 = b2 + c2 − 2ac cos A
B. b2 = a2 − c2 + 2ac cos B
C. b2 = a2 + c2 − 2ab cos B
D. c2 = a2 + b2 − 2ac cos C
E. a2 − b2 = c2 − 2bc cos A
Pembahasan :
Aturan cosinus merupakan aturan yang menunjukkan hubungan antara sisi-sisi segitiga dengan nilai cosinus salah satu sudutnya. Aturan ini diapat digunakan untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut dalam segitiga.
Pada segitiga ABC berlaku aturan cosinus sebagai berikut:
| a2 = b2 + c2 − 2bc cos A |
| b2 = a2 + c2 − 2ac cos B |
| c2 = a2 + b2 − 2ab cos C |
Dari kelima opsi yang diberikan, opsi E adalah bentuk lain dari:
⇒ a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
⇒ a2 − b2 = c2 − 2bc cos A
Jawaban : E
Soal 2
Jika pada segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c, maka berdasarkan aturan cosinus, besar sudut B dapat dihitung dengan rumus .....
A. cos B = (a2 + c2 − b2) / 2ac
B. sin B = (a2 + c2 − b2) / 2ac
C. cos B = (a2 + c2 − b2) / 2ab
D. cos B = (a2 + c2 + b2) / ac
E. cos B = (a2 − c2 − b2) / 2ac
Pembahasan :
Misal diberi segitiga ABC dengan sisi-sisinya a, b, dan c dan sudut-sudutnya A, B, dan C. Jika panjang a, b, dan c diketahui, maka besar sudut B dapat dihitung dengan rumus berikut:
⇒ b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
⇒ 2ac cos B = a2 + c2 − b2
⇒ cos B = (a2 + c2 − b2) / 2ac
Jawaban : A
Soal 3Dalam segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 7 cm, b = 8 cm, dan c = 9cm. Besar sudut di hadapan sisi terpendek adalah ....
A. 38,2o
B. 40,2o
C. 48,2o
D. 49,4o
E. 51,2o
Pembahasan :
Dik : a = 7 cm, b = 8 cm, dan c = 9cm
Dit : A = ...?
Berdasarkan aturan cosinus:
⇒ cos A = (b2 + c2 − a2) / 2bc
⇒ cos A = (82 + 92 − 72) / 2(8)(9)
⇒ cos A = (64 + 81 − 49) / 144
⇒ cos A = 96/144
⇒ cos A = 0,666
⇒ A = 48,2o
Jadi, besar sudut di hadapan sisi terpendek adalah 48,2o.
Jawaban : C
Soal 4
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a dan b berturut-turut 5 cm dan 6 cm. Jika besar sudut C adalah 52o, maka panjang sisi c adalah ....
A. 4,9 cm
B. 5,1 cm
C. 6,3 cm
D. 7,1 cm
E. 7,6 cm
Pembahasan :
Dik : a = 5 cm, b = 6 cm, C = 52o
Dit : c = ... ?
Berdasarkan aturan cosinus :
⇒ c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
⇒ c2 = 52 + 62 − 2(5)(6) cos 52o
⇒ c2 = 25 + 36 − 60 (0,615)
⇒ c2 = 61 − 36,9
⇒ c2 = 24,1
⇒ c = 4,9 cm
Jadi, panjang sisi c adalah 4,9 cm.
Jawaban : A
Soal 5
Dalam segitiga ABC panjang a adalah dua kali panjang c dan besar sudut di hadapan sisi b adalah 48o. Jika panjang c adalah 4 cm, maka panjang sisi b sama dengan ....
A. 4,8 cm
B. 5,2 cm
C. 5,6 cm
D. 6,1 cm
E. 6,4 cm
Pembahasan :
Dik : a = 2c, c = 4 cm, B = 48o
Dit : b = ... ?
Berdasarkan aturan cosinus:
⇒ b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
⇒ b2 = (2c)2 + c2 − 2(2c)c cos B
⇒ b2 = 4c2 + c2 − 4c2 cos B
⇒ b2 = 5c2 − 4c2 cos B
⇒ b2 = 5(4)2 − 4(4)2 cos 48o
⇒ b2 = 80 − 64 (0,669)
⇒ b2 = 80 − 42,8
⇒ b2 = 37,2
⇒ b = 6,1 cm
Jadi, panjang sisi b adalah 6,1 cm.
Jawaban : D
Soal 6
Jika panjang sisi a dalam segitiga ABC adalah setengah dari panjang sisi b dan besar sudut C adalah 60o, maka hubungan antara panjang sisi a dan c yang benar adalah ....
A. c = 3a
B. c = √3 a
C. c = 3a2
D. c = √3 a2
E. c = 4a2
Pembahasan :
Dik : b = 2a, C = 60o
Dit : c = ....a?
Berdasarkan aturan cosinus:
⇒ c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
⇒ c2 = a2 + (2a)2 − 2a(2a) cos 60o
⇒ c2 = a2 + 4a2 − 4a2(0,5)
⇒ c2 = 5a2 − 2a2
⇒ c2 = 3a2
⇒ c = √3 a
Jawaban : B
Soal 7
Jika pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a, b, dan c berturut-turut adalah 7 cm, 8 cm, dan 9 cm, maka jumlah besar sudut A + C adalah ....
A. 121,6o
B. 124,6o
C. 126,3o
D. 128,1o
E. 131,6o
Pembahasan :
Dik : a = 7 cm, b = 8 cm, c = 9 cm
Dit : A + C = ... ?
Berdasarkan aturan cosinus:
⇒ cos B = (a2 + c2 − b2) / 2ac
⇒ cos B = (72 + 92 − 82) / 2(7)(9)
⇒ cos B = (49 + 81 − 64) / 126
⇒ cos B = 66 / 126
⇒ cos B = 0,523
⇒ B = 58,4o
Berdasarkan jumlah sudut segitiga:
⇒ A + B + C = 180o
⇒ A + C = 180o - B
⇒ A + C = 180o - 58,4o
⇒ A + C = 121,6o
Jadi, jumlah sudut A + C adalah 121,6o.
Jawaban : A
Soal 8
Jika panjang a, b, dan c dalam segitiga ABC berturut-turut adalah 8 cm, 7 cm, dan 4 cm, maka besar sudut A adalah ...
A. 37o
B. 46o
C. 68o
D. 89o
E. 103o
Pembahasan :
Dik : a = 8 cm, b = 7 cm, c = 4 cm
Dit : A = ... ?
Berdasarkan aturan cosinus:
⇒ cos A = (b2 + c2 − a2) / 2bc
⇒ cos A = (72 + 42 − 82) / 2(7)(4)
⇒ cos A = (49 + 16 − 64) / 56
⇒ cos A = 1/56
⇒ cos A = 0,017
⇒ A = 89o
Jadi, besar sudut A adalah 89o.
Jawaban : D
Soal 9
Jika pada segitiga ABC berlaku hubungan a2 = b2 + c2 − √2bc, maka besar sudut A adalah ...
A. 35o
B. 45o
C. 53o
D. 60o
E. 75o
Pembahasan :
Berdasarkan aturan cosinus panjang sisi a dapat dihitung dengan rumus
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
Karena pada soal diketahui a2 = b2 + c2 − √2bc, maka berlaku:
⇒ 2bc cos A = √2bc
⇒ cos A = (√2bc) / 2bc
⇒ cos A = ½√2
⇒ A = 45o
Jadi, besar sudut A adalah 45o.
Jawaban : B
Soal 10
Jika pada segitiga ABC berlaku a2 = b2 + c2 − √3bc dan c2 = a2 + b2 − ab, maka besar sudut B adalah ...
A. 30o
B. 45o
C. 90o
D. 95o
E. 105o
Pembahasan :
Berdasarkan aturan cosinus panjang sisi a dapat dihitung dengan rumus
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
Karena pada soal diketahui a2 = b2 + c2 − √3bc, maka berlaku:
⇒ 2bc cos A = √3bc
⇒ cos A = (√3bc) / 2bc
⇒ cos A = ½√3
⇒ A = 30o
Berdasarkan aturan cosinus panjang sisi c dapat dihitung dengan rumus
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
Karena pada soal diketahui c2 = a2 + b2 − ab, maka berlaku:
⇒ 2ab cos C = ab
⇒ cos C = (ab) / 2ab
⇒ cos C = ½
⇒ C = 60o
Berdasarkan jumlah sudut segitiga:
⇒ A + B + C = 180o
⇒ B = 180o - (A + C)
⇒ B = 180o - (30o + 60o)
⇒ B = 180o - 90o
⇒ B = 90o
Jadi, besar sudut B adalah 90o.
Jawaban : C
Tags:
matematika