Contoh Penggunaan Aturan Cosinus dalam Menghitung Sisi Segitiga

Aturan cosinus merupakan subtopik dalam trigonometri yang memanfaatkan nilai cosinus sudut segitiga untuk melihat hubungan antara sisi-sisi dalam segitiga dengan nilai csoinus sudut-sudutnya. Salah satu kegunaan dari aturan cosinus adalah untuk menentukan panjang sisi segitiga yang tidak diketahui jika dua sisi lainnya diketahui beserta besar sudut yang diapit oleh kedua sisi lainnya. Berbeda dengan aturan sinus yang dapat diterapkan pada segitiga dengan tiga kemungkinan susunan unsur yang diketahui, pada aturan cosinus, hanya ada satu susunan unsur yang diketahui yaitu sisi, sudut, sisi. Lalu, bagaimana cara menentukan panjang sisi segitiga dengan aturan cosinus? Pada kesempatan ini, si Jeger akan memaparkan kondisi yang dapat diselesaikan dengan aturan cosinus.

Pada dasarnya, aturan cosinus dapat digunakan untuk menentukan panjang sisi segitiga jika ada tiga unsur lain yang diketahui. Kita tahu, unsur dalam segitiga ada dua jenis, yaitu sisi dan sudut. Agar bisa menggunakan aturan cosinus, maka harus ada tiga unsur yang diketahui dengan susunan sisi, sudut, sisi.

Susunan unsur sisi-sudut-sisi menandakan bahwa pada segitiga tersebut harus diketahui panjang dua sisinya dan besar sudut yang berada di antara kedua sisi tersebut. Dengan katal lain, sudut yang diketahui besarnya adalah sudut yang diapait oleh dua sisi yang diketahui panjangnya.

Jika diberikan segitiga ABC sebarang, maka ada tiga kondisi yang mungkin untuk susunan unsur yang diketahui (sisi, sudut, sisi) yaitu:
1. Sisi a, sudut B, sisi c : a-B-c
2. Sisi a, sudut C, sisi b : a-C-b
3. Sisi b, sudut A, sisi c : b-A-c

Dari ketiga susunan di atas dapat kita tarik beberapa kesimpulan, yaitu : sudut B berada di antara a dan c, sudut C berada di antara a dan b, dan sudut A berada di antara b dan c. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.

#1 Aturan Cosinus Jika diketahui a-B-c

Jika pada segitiga ABC unsur yang diketahui adalah panjang sisi a, besar sudut B, dan panjang sisi c, maka panjang sisi b dapat dihitung dengan aturan cosinus sebagai berikut:

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

Keterangan :
b = panjang sisi yang tidak diketahui
a, c = panjang sisi yang diketahui
B = sudut yang diapit oleh sisi a dan c

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a adalah 10 cm dan panjang sisi c adalah 12 cm. Jika besar sudut yang diapit oleh a dan c adalah 46^o, maka tentukan panjang sisi b.

Pembahasan :
Dik : a = 10 cm, ∠B = 46^o, c = 12 cm
Dit : b = ... ?

Berdasarkan aturan cosinus :
⇒ b² = a² + c² − 2ac cos B
⇒ b² = 10² + 12² − 2(10)(12) cos 46^o
⇒ b² = 100 + 144 − 240 (0.6946)
⇒ b² = 244 − 166,7
⇒ b² = 77,3
⇒ b = 8,8 cm

Jadi, panjang sisi b adalah 8,8 cm.

#2 Aturan Cosinus Jika diketahui a-C-b

Jika pada segitiga ABC unsur yang diketahui adalah panjang sisi a, besar sudut C, dan panjang sisi b, maka panjang sisi c dapat dihitung dengan aturan cosinus sebagai berikut:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

Keterangan :
c = panjang sisi yang tidak diketahui
a, b = panjang sisi yang diketahui
C = sudut yang diapit oleh sisi a dan b

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a adalah 8 cm dan panjang sisi b adalah 5 cm. Jika besar sudut di hadapan sisi c adalah 64^o, maka tentukan panjang sisi c.

Pembahasan :
Dik : a = 8 cm, ∠B = 64^o, b = 5 cm
Dit : b = ... ?

Berdasarkan aturan cosinus :
⇒ c² = a² + b² − 2ab cos C
⇒ c² = 8² + 5² − 2(8)(5) cos 64^o
⇒ c² = 64 + 25 − 80 (0.438)
⇒ c² = 89 − 35,06
⇒ c² = 53,94
⇒ c = 7,3 cm

Jadi, panjang sisi c adalah 7,3 cm.

#3 Aturan Cosinus jika diketahui b-A-c

Jika pada segitiga ABC unsur yang diketahui adalah panjang sisi b, besar sudut A, dan panjang sisi c, maka panjang sisi a dapat dihitung dengan aturan cosinus sebagai berikut:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

Keterangan :
a = panjang sisi yang tidak diketahui
b, c = panjang sisi yang diketahui
A = sudut yang diapit oleh sisi b dan c

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi b adalah 6 cm dan panjang sisi c adalah 4 cm. Jika besar sudut A adalah 35^o, maka tentukan panjang sisi a.

Pembahasan :
Dik : b = 6 cm, ∠A = 35^o, c = 4 cm
Dit : a = ... ?

Berdasarkan aturan cosinus :
⇒ a² = b² + c² − 2bc cos A
⇒ a² = 6² + 4² − 2(6)(4) cos 35^o
⇒ a² = 36 + 16 − 48 (0.819)
⇒ a² = 52 − 39,32
⇒ a² = 12,68
⇒ a = 3,6 cm

Jadi, panjang sisi a adalah 3,6 cm.