Soal UN dan Pembahasan Matriks
Matriks. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas beberapa soal ujian nasional bidang study matematika tentang matriks. Biasanya, ada dua soal tentang program linear yang keluar dalam ujian nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal matriks yang paling sering muncul adalah menentukan invers dari suatu matriks, menentukan perkalian matriks, menentukan determinan dari hasil kali invers matriks, menentukan transpose matriks, dan menentukan nilai koefisien berdasarkan konsep kesamaan matriks.
Kumpulan Soal Ujian Nasional Matriks
- P dan Q adalah matriks 2x2 seperti yang terlihat di bawah :
P = - 2 5 - 1 3 Q = - 5 4 - 1 1 Jika P-1 adalah invers dari matriks P dan Q-1 adalah invers dari matriks Q, maka determinan matriks P-1.Q-1 adalah ....Baca Juga- 223
- 1
- -1
- -10
- -223
Pembahasan :
Untuk mengetahui determinan dari P-1.Q-1 ada baiknya kita mencari invers dari masing-masing matriks terlebih dahulu.
Jika diberikan sebuah matriks dengan ordo 2x2 sebagai berikut :A = - a b - c d
Maka invers dari matriks tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut :A-1 = 1 . - d -b - ad - bc -c a
Berdasarkan rumus tersebut maka kita peroleh :
Invers dari matriks P⇒ P = - 2 5 - 1 3 ⇒ P-1 = 1 . - 3 -5 - 2(3) - 1(5) -1 2 ⇒ P-1 = - 3 -5 - -1 2
Invers dari matriks Q⇒ Q = - 5 4 - 1 1 ⇒ Q-1 = 1 . - 1 -4 - 5(1) - 1(4) -1 5 ⇒ Q-1 = - 1 -4 - -1 5
Selanjutnya kita tinjau hasil kali dari invers matriks tersebut. Jika diberikan dua matriks berordo 2x2 sebagai berikut :A = - a b - dan B = - m n - c d o p
Maka perkaliannya dapat diselesaikan berdasarkan aturan perkalian matris, yaitu :A.B = - am + bo an + bp - cm + do cn + dp
Berdasarkan konsep tersebut, maka kita peroleh :⇒ P-1 = - 3 -5 - dan Q-1 = - 1 -4 - -1 2 -1 5 ⇒ P-1.Q-1 = - 3(1) + (-5)(-1) 3(-4) + (-5)(5) - (-1)(1) + 2(-1) (-1)(-4) + 2(5) ⇒ P-1.Q-1 = - 8 -37 - -3 14
Dengan demikian determinannya adalah :
⇒ |P-1.Q-1| = 8(14) - (-37)(-3)
⇒ |P-1.Q-1| = 112 - 111
⇒ |P-1.Q-1| = 1Jawaban : B
- Diketahui persamaan matriks :
- a 4 - + - 2 b - = - 1 -3 - . - 0 1 - -1 c d -3 3 4 1 0
Nilai a + b + c + d = ....A. -7 D. 3 B. -5 E. 7 C. -1
Pembahasan :
Sesuai dengan konsep penjumlahan dan perkalian matriks, maka kita peroleh :⇒ - a 4 - + - 2 b - = - 1 -3 - . - 0 1 - -1 c d -3 3 4 1 0 ⇒ - a + 2 4 + b - = - 1(0) + (-3)(1) 1(1) + (-3)(0) - -1 + d c - 3 3(0) + 4(1) 3(1) + 4(0) ⇒ - a + 2 4 + b - = - -3 1 - -1 + d c - 3 4 3
Berdasarkan konsep kesamaan matriks, maka berlaku :
Nilai a :
⇒ a + 2 = -3
⇒ a = -5
Nilai b :
⇒ 4 + b = 1
⇒ b = -3
Nilai c :
⇒ c - 3 = 3
⇒ c = 6
Nilai d :
⇒ -1 + d = 4
⇒ d = 5
Dengan demikian kita peroleh :
⇒ a + b + c + d = -5 + (-3) + 6 + 5
⇒ a + b + c + d = 3Jawaban : D
- Diberikan matriks A, B, dan C sebagai berikut :
A = - 2 -1 - , B = - x+y 2 - dan C = - 7 2 - 1 4 3 y 3 1
Jika B - A = Ct dan Ct merupakan transpose matriks C, maka nilai x.y sama dengan ...A. 10 D. 25 B. 15 E. 30 C. 20
Pembahasan :
Jika diberikan sebuah matriks ordo 2x2 sebagai berikut :A = - a b - c d
Maka transpose dari matriks tersebut adalah :At = - a c - b d
Berdasarkan konsep tersebut, maka transpose dari C adalah :Ct = - 7 3 - 2 1
Dengan demikian, maka kita peroleh :
⇒ B - A = Ct⇒ - x+y 2 - − - 2 -1 - = - 7 3 - 3 y 1 4 2 1 ⇒ - x+y − 2 2 − (-1) - = - 7 3 - 3 − 1 y − 4 2 1 ⇒ - x + y - 2 3 - = - 7 3 - 2 y - 4 2 1
Berdasarkan konsep kesamaan matriks, maka berlaku :
⇒y - 4 = 1
⇒ y = 5
Selanjutnya :
⇒ x + y - 2 = 7
⇒ x + 5 - 2 = 7
⇒ x = 4
Dengan demikian kita peroleh :
⇒ x.y = 4(5)
⇒ x.y = 20Jawaban : C
- Diketahui matriks A, B, dan C sebagai berikut :
A = - 3 0 - , B = - x -1 - dan C = - 0 -1 - 2 5 y 1 -15 5
Jika At adalah transpose dari matriks A dan At . B = C, maka nilai 2x + y = ....A. -4 D. 5 B. -1 E. 7 C. 1
Pembahasan :
Jika diberikan sebuah matriks ordo 2x2 sebagai berikut :A = - a b - c d
Maka transpose dari matriks tersebut adalah :At = - a c - b d
Berdasarkan konsep tersebut, maka transpose dari A adalah :At = - 3 2 - 0 5
Dengan demikian kita peroleh :
⇒ At . B = C⇒ - 3 2 - . - x -1 - = - 0 -1 - 0 5 y 1 -15 5 ⇒ - 3(x) + 2(y) 3(-1) + 2(1) - = - 0 -1 - 0(x) + 5(y) 0(-2) + 5(1) -15 5 ⇒ - 3x + 2y -1 - = - 0 -1 - 5y 5 -15 5
Berdasarkan konsep kesamaan matriks, maka berlaku :
⇒ 5y = -15
⇒ y = -3
Selanjutnya :
⇒ 3x + 2y = 0
⇒ 3x + 2(-3) = 0
⇒ 3x = 6
⇒ x = 2
Dengan demikian :
⇒ 2x + y = 2(2) + (-3)
⇒ 2x + y = 1Jawaban : C
- Diberikan matrisk A, B, dan C sebagai berikut :
A = - 4 -9 - , B = - 5p -5 - dan C = - -10 8 - 3 -4p 1 3 -4 6p
Jika A - B = C-1 , maka nilai 2p adalah ...A. -1 D. 1 B. -1/2 E. 2 C. 1/2
Pembahasan :
Jika diberikan sebuah matriks dengan ordo 2x2 sebagai berikut :A = - a b - c d
Maka invers dari matriks tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut :A-1 = 1 . - d -b - ad - bc -c a
Berdasarkan rumus tersebut maka kita peroleh invers dari matriks C sebagai berikut :⇒ C = - -10 8 - -4 6p ⇒ C-1 = 1 . - 6p -8 - -10(6p) - 8(-4) 4 -10 ⇒ C-1 = - 6p(-60p + 32) -8/(-60p + 32) - 4/(-60p + 32) -10/(-60p + 32)
Dengan demikian :
⇒ A - B = C-1⇒ - 4 -9 - . - 5p -5 - = - 6p(-60p + 32) -8/(-60p + 32) - 3 -4p 1 3 4/(-60p + 32) -10/(-60p + 32) ⇒ - 4 - 5p -9 - (-5) - = - 6p(-60p + 32) -8/(-60p + 32) - 3 - 1 -4p - 3 4/(-60p + 32) -10/(-60p + 32) ⇒ - 4 - 5p -4 - = - 6p(-60p + 32) -8/(-60p + 32) - 2 -4p - 3 4/(-60p + 32) -10/(-60p + 32)
Berdasarkan konsep kesamaan matriks, maka berlaku :
⇒ 4/(-60p + 32) = 2
⇒ 4 = 2(-60p + 32)
⇒ 4 = -120p + 64
⇒ -60 = -120p
⇒ p = 1/2
Dengan demikian, 2p = 1.Jawaban : D
