Cara Mencari Persamaan Kuadrat Baru

#4. Rumus Umum Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Rumus umum merupakan konsep dasar yang harus kita pahami dan kita kuasai karena dengan rumus umum kita dapat mengembangkan rumus khusus yang berlaku untuk bentuk-bentuk tertentu.

Tentu saja bentuk-bentuk tersebut merupakan bentuk khusus yang umum keluar pada soal sehingga mempelajari rumus khusus untuk bentuk tersebut akan sangat membantu kita dalam mengerjalan suatu soal.

Oleh karena itu, mau tidak mau kita harus mempelajari rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru agar dapat membentuk rumus khusus yang dapat mempermudah kita dalam menyusun persamaan kuadrat baru.

Perlu anda ingat bahwa rumus khusus yang akan kita pelajari hanya berlaku untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n lebihnya (x₁ + n dan x₂ + n) dari akar-akar persamaan kuadrat sebelumnya.

Pada pembahasan ini, kita akan menyusun persamaan kuadrat berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar. Cara ini cenderung lebih mudah karena kita tidak perlu mencari aar-akarnya terlebih dahulu. Dengan demikian, modal utama yag harus kita kuasai adalah rumus jumlah akar dan hasil kali akar.

Dengan memanfaatkan rumus jumlah akar dan hasil kali akar, kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru berdasarkan hubungan akar-akarnya dengan persamaan kuadrat yang sudah diketahui.

Jadi, pada intinya, menyusun persamaan kuadrat baru itu sama dengan menyususn suatu persamaan kuadrat  berdasarkan persamaan kuadrat yang diketahui sebelumnya.

Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru adalah :

x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0

Biasanya akan ditulis menggunakan simbol tertentu misalnya :

x2 − (α + β) + α.β= 0

Dengan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.

Rumus Khusus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Dengan Akar x₁ + n dan x₂ + n

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n lebihnya (x₁ + n dan x₂ + n) dapat ditentukan dengan rumus khusus yang diperoleh berdasarkan langkah-langkah berikut :

1. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat awal
2. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat awal
3. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru
4. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru
5. Susun persamaan kuadrat baru

Berdasarkan langkah di atas, maka hal pertama yang harus kita lakuan adalah mengulik persamaan kuadrat awalnya.

Persamaan Kuadrat Awal :
ax² + bx + c = 0

Jumlah akar : 

x1 + x2 = -b a

Hasil kali akar :

x1 . x2 = c a

Nilai a, b, dan c akan kita peroleh dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Kita sudah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal, langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.

Jumlah akar :
⇒ (x₁ + n) + (x₂ + n) = (x₁ + x₂) + 2n
⇒ (x₁ + n) + (x₂ + n)= -b/a + 2n

Hasil kali akar :
⇒ (x₁ + n) . (x₂ + n) = (x₁.x₂) + nx₁ + nx₂ + n²
⇒ (x₁ + n) . (x₂ + n) = (x₁.x₂) + n(x₁ + x₂) + n²
⇒ (x₁ + n) . (x₂ + n) = c/a + n(-b/a) + n²
⇒ (x₁ + n) . (x₂ + n) = c/a − n(b/a) + n²

Selanjutnya, kita susun persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus umumnya yaitu :
⇒ x² − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (-b/a + 2n)x + c/a − n(b/a) + n² = 0

Untuk menghilangan penyebutnya, kita kali persamaannya dengan a :
⇒ ax² + bx − 2anx + c − bn + an² = 0
⇒ ax² − 2anx + an² + bx − bn + c = 0
⇒ a(x - n)² + b(x − n) + c = 0

Jadi, rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n lebihnya (x₁ + n dan x₂ + n) adalah :

a(x − n)2 + b(x − n) + c = 0

Nilai a, b dan c kita peroleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax² + bx + c = 0.

Contoh Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x²  − 6x + 4 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Pembahasan :
Untuk membandingkan hasil yang akan kita peroleh, kita akan coba membahas soal di atas menggunakan rumus umum dan rumus khusus.

Dengan Rumus Umum
Persamaan kuadrat awal : x² − 6x + 4 = 0
Dik : a = 1, b = -6, dan c = 4

Jumlah akar :
⇒ x₁ + x₂ = -b/a
⇒ x₁ + x₂ = -(-6)/1
⇒ x₁ + x₂ = 6

Hasil kali akar :
⇒ x₁ . x₂ = c/a
⇒ x₁ . x₂ = 4/1
⇒ x₁ . x₂ = 4

Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar sebelumnya (x₁ + 2 dan x₂ + 2).

Jumlah akar :
⇒ (x₁ + 2) + (x₂ + 2) = (x₁ + x₂) + 4
⇒ (x₁ + 2) + (x₂ + 2) = 6 + 4
⇒ (x₁ + 2) + (x₂ + 2) = 10

Hasil kali akar :
⇒ (x₁ + 2) . (x₂ + 2) = (x₁.x₂) + 2x₁ + 2x₂ + 2²
⇒ (x₁ + 2) . (x₂ + 2) = (x₁.x₂) + 2(x₁ + x₂) + 4
⇒ (x₁ + 2) . (x₂ + 2) = 4 + 2(6) + 4
⇒ (x₁ + 2) . (x₂ + 2) = 20

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x₁ + 2 dan x₂ + 2 adalah :
⇒ x² − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (10)x + 20 = 0
⇒ x² −  10x + 20 = 0

Dengan Rumus Khusus
Berdasarkan penguraian kita sebelumnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n lebihnya dari akar seblumnya dapat ditentukan dengan rumus khusus yaitu :

a(x − n)2 + b(x − n) + c = 0

Dari soal diketahui a = 1, b = -6 ,c = 4 dan n = 2, maka kita peroleh :
⇒ a(x − n)² + b(x − n) + c = 0
⇒ 1(x − 2)² + (-6)(x − 2) + 4 = 0
⇒ x² − 4x + 4 − 6x + 12 + 4 = 0
⇒ x² − 10x + 20 = 0 

Hasil yang diperoleh dengan rumus khusus sama dengan hasil yang diperoleh dengan rumus umum. Terserah anda ingin menggunakan rumus yang mana, yang penting anda harus paham bahwa rumus khusus tidak berlaku untuk semua soal. Selain itu, anda juga harus siap menghafal banyak rumus khusus jika lebih suka cara yang singkat.

#5. Rumus Umum Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru erat kaitannya dengan rumus jumlah dan hasil kali akar. Itu sebabnya, modal dasar yang harus kita kuasai untuk menyusun persamaan kuadrat baru adalah rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat.

Sebenarnya, persamaan kuadrat baru dapat disusun dengan cara mencari akar-akarnya terlebih dahulu berdasarkan hubungannya dengan persamaan kuadrat awal. Akan tetapi, adakalanya akar-akar persamaan kuadrat sulit untuk diperoleh sehingga menyulitkan kita dalam menyusun persamaannya.

Dengan adanya keterbatasan tersebut, maka kita dapat memanfaatkan rumus jumlah dan hasil kali akar sebagai solusi alternatif yang relatif lebih mudah. Dengan rumus tersebut, semua bentuk persamaan kuadrat dapat kita kerjakan dengan waktu yang lebih singkat.

Selanutnya, dari rumus umum yang telah diperoleh, kita dapat menemukan rumus-rumus khusus untuk bentuk tertentu yang sudah umum keluar dalam soal persamaan kuadrat.

Untu itu, sebelum kita mempelajari rumus khusus menyusun persamaan kuadrat baru lebih jauh, ada baiknya jika kita terlebih dahulu memahami kembali rumus umum untuk menyusun persamaan kuadrat baru.

Dengan memanfaatkan rumus jumlah akar dan hasil kali akar, kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru berdasarkan hubungan akar-akarnya dengan persamaan kuadrat yang sudah diketahui.

Dengan kata lain, persamaan kuadrat baru yang akan kita cari sangat bergantung pada persamaan kuadrat awal yang diketahui. Nilai jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru akan berkaitan dengan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal.

Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru adalah :

x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0

Biasanya akan ditulis menggunakan simbol tertentu misalnya :

x2 − (α + β) + α.β= 0

Degan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.

Rumus Khusus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Dengan Akar x₁ - n dan x₂ - n

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kurangnya (x₁ - n dan x₂ - n) dapat ditentukan dengan rumus khusus yang diperoleh berdasarkan langkah-langkah berikut :

1. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat awal
2. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat awal
3. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru
4. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru
5. Susun persamaan kuadrat baru

Berdasarkan langkah di atas, maka hal pertama yang harus kita lakuan adalah mengulik persamaan kuadrat awalnya.

Persamaan Kuadrat Awal :
ax² + bx + c = 0

Jumlah akar :

x1 + x2 =  -b  a

Hasil kali akar :

x1 . x2 =  c a

Nilai a, b, dan c akan kita peroleh dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Kita sudah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal, langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.

Jumlah akar :
⇒ (x₁ - n) + (x₂ - n) = (x₁ + x₂)  − 2n
⇒ (x₁ - n) + (x₂ - n) = -b/a − 2n

Hasil kali akar :
⇒ (x₁ - n) . (x₂ - n) = (x₁.x₂) − nx₁ − nx₂ + n²
⇒ (x₁ - n) . (x₂ - n) = (x₁.x₂) − n(x₁ + x₂) + n²
⇒ (x₁ - n) . (x₂ - n) = c/a − n(-b/a) + n²
⇒ (x₁ - n) . (x₂ - n) = c/a + n(b/a) + n²

Selanjutnya, kita susun persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus umumnya yaitu :
⇒ x² − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (-b/a − 2n)x + c/a + n(b/a) + n² = 0

Untuk menghilangan penyebutnya, kita kali persamaannya dengan a :
⇒ ax² + bx + 2anx + c + bn + an² = 0
⇒ ax² + 2anx + an² + bx + bn + c = 0
⇒ a(x + n)² + b(x + n) + c = 0

Jadi, rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kurangnya (x₁ - n dan x₂ - n) adalah :

a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0

Nilai a, b dan c kita peroleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax² + bx + c = 0.

Contoh Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x²  − 3x + 5 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Pembahasan :
Untuk membandingkan hasil yang akan kita peroleh, kita akan coba membahas soal di atas menggunakan rumus umum dan rumus khusus.

Dengan Rumus Umum
Persamaan kuadrat awal : x²  − 3x + 5 = 0
Dik : a = 1, b = -3, dan c = 5

Jumlah akar :
⇒ x₁ + x₂ = -b/a
⇒ x₁ + x₂ = -(-3)/1
⇒ x₁ + x₂ = 3

Hasil kali akar :
⇒ x₁ . x₂ = c/a
⇒ x₁ . x₂ = 5/1
⇒ x₁ . x₂ = 5

Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kurangnya dari akar sebelumnya (x₁ - 3 dan x₂ - 3).

Jumlah akar :
⇒ (x₁ - 3) + (x₂ - 3) = (x₁ + x₂) − 6
⇒ (x₁ - 3) + (x₂ - 3) = 3 − 6
⇒ (x₁ - 3) + (x₂ - 3) = -3

Hasil kali akar :
⇒ (x₁ - 3) . (x₂ - 3) = (x₁.x₂) − 3x₁ + 3x₂ + 3²
⇒ (x₁ - 3) . (x₂ - 3) = (x₁.x₂) − 3(x₁ + x₂) + 9
⇒ (x₁ - 3) . (x₂ - 3) = 5 − 3(3) + 9
⇒ (x₁ - 3) . (x₂ - 3) = 5

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x₁ - 2 dan x₂ - 2 adalah :
⇒ x² − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (-3)x + 5 = 0
⇒ x² + 3x + 5 = 0

Dengan Rumus Khusus
Berdasarkan penguraian kita sebelumnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kurangnya dari akar sebelumnya dapat ditentukan dengan rumus khusus yaitu :

a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0

Dari soal diketahui a = 1, b = -3 ,c = 5 dan n = 3, maka kita peroleh :
⇒ a(x + n)² + b(x + n) + c = 0
⇒ 1(x + 3)² + (-3)(x + 3) + 5 = 0
⇒ x² + 6x + 9 − 3x − 9 + 5 = 0
⇒ x² + 3x + 5 = 0

#6 Rumus Umum Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru disusun berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar. Rumus jumlah dan hasil kali akar merupakan modal utama yang harus kita kuasai untuk menyusun persamaan kuadrat baru.

Menyusun persamaan kuadrat baru berdasarkan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat relatif lebih mudah daripada menyusun persamaan kuadrat baru dengan cara mencari akar-akarnya.

Dengan memanfaatkan rumus jumlah dan hasil kali akar, kita dapat menyusun suatu persamaan kuadrat tanpa harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu. Dengan begitu metode tersebut akan lebih hemat waktu.

Dengan metode jumlah dan hasil kali akar, yang harus kita lakukan hanyalah melihat nilai a, b, dan c dalam persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yang diketahui untuk menentukan nilai jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

Selanjutnya kita gunakan nilai-nilai yang kita peroleh dari persamaan kuadrat awal untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar pada persamaan kuadrat yang baru. Langkah terakhir, kita susun persamaan kuadrat barunya.

Sesuai dengan hubungan antara akar-akar persamaan awal dan persamaan kuadrat baru, maka kita dapat melihat rumus khusus yang pada dasarnya dikembangkan berdasarkan rumus umum.

Oleh karena itu, untuk menemukan rumus khusus menyusun persamaan kuadrat baru, kita harus memahami rumus umum menyusun persamaan kuadrat terlebih dahulu.

Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru adalah :

x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0

Biasanya akan ditulis menggunakan simbol tertentu misalnya :

x2 − (α + β) + α.β= 0

Degan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.

Rumus Khusus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Dengan Akar (x₁² dan x₂²)

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar-akar sebelumnya(x₁² dan x₂²) dapat ditentukan dengan rumus khusus yang diperoleh berdasarkan langkah-langkah berikut :

1. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat awal
2. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat awal
3. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru
4. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru
5. Susun persamaan kuadrat baru

Berdasarkan langkah di atas, maka hal pertama yang harus kita lakuan adalah mengulik persamaan kuadrat awalnya.

Persamaan Kuadrat Awal :
ax² + bx + c = 0

Jumlah akar :

x1 + x2 =  -b  a

Hasil kali akar :

x1 . x2 =  c a

Nilai a, b, dan c akan kita peroleh dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Kita sudah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal, langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.

Jumlah akar :
⇒ x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)²  − 2x₁.x₂
⇒ x₁² + x₂² = (-b/a)²  − 2(c/a)
⇒ x₁² + x₂² = b²/a²  − 2c/a

Hasil kali akar :
⇒ x₁² . x₂² = (x₁ . x₂)² 
⇒ x₁² . x₂² = (c/a)² 
⇒ x₁² . x₂² = c²/a²

Selanjutnya, kita susun persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus umumnya yaitu :
⇒ x² − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (b²/a²  − 2c/a)x + c²/a² = 0

Untuk menghilangan penyebutnya, kita kali persamaannya dengan a² :
⇒ a²x² − (b²  − 2ac)x + c² = 0

Jadi, rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar-akar sebelumnya (x₁² dan x₂²) adalah :

a2x2 − (b2  − 2ac)x + c2 = 0

Nilai a, b dan c kita peroleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax² + bx + c = 0.

Contoh Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x²  − 4x + 5 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Pembahasan :
Untuk membandingkan hasil yang akan kita peroleh, kita akan coba membahas soal di atas menggunakan rumus umum dan rumus khusus.

Dengan Rumus Umum
Persamaan kuadrat awal : 2x²  − 4x + 5 = 0
Dik : a = 2, b = -4, dan c = 5

Jumlah akar :
⇒ x₁ + x₂ = -b/a
⇒ x₁ + x₂ = -(-4)/2
⇒ x₁ + x₂ = 2

Hasil kali akar :
⇒ x₁ . x₂ = c/a
⇒ x₁ . x₂ = 5/2

Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar-akar sebelumnya (x₁² dan x₂²).

Jumlah akar :
⇒ x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)²  − 2x₁.x₂
⇒ x₁² + x₂² = (2)²  − 2(5/2)
⇒ x₁² + x₂² = 4 − 5
⇒ x₁² + x₂² = -1

Hasil kali akar :
⇒ x₁² . x₂² = (x₁ . x₂)² 
⇒ x₁² . x₂² = (5/2)²
⇒ x₁² . x₂² = 25/4

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x₁² dan x₂²) adalah :
⇒ x² − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (-1)x + 25/4 = 0
⇒ x² + x + 25/4 = 0
⇒ 4x² + 4x + 25 = 0

Dengan Rumus Khusus
Berdasarkan penguraian kita sebelumnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar sebelumnya dapat ditentukan dengan rumus khusus yaitu :

a2x2 − (b2  − 2ac)x + c2 = 0

Dari soal diketahui a = 2, b = -4  dan c = 5, maka kita peroleh :
⇒ a²x² − (b²  − 2ac)x + c² = 0
⇒ 2²x² − {(-4)²  − 2(2)(5)}x + 5² = 0
⇒ 4x² − (16 − 20)x + 25 = 0
⇒ 4x² − (-4)x + 25 = 0
⇒ 4x² + 4x + 25 = 0
LANJUTKAN BAGIAN III