Beranda

Soal SBMPTN dan Pembahasan Turunan dan Aplikasi Turunan

Jeger

September 01, 2015

Posting Komentar

komentar teratas

Terbaru dulu

Soal SBMPTN tentang Differensial (Turunan)

Suatu benda bergerak dengan persamaan gerak yang dinyatakan oleh :
s(t) = ⅓t³ - 2t² + 6r + 3
Satuan jarak s(t) dinyatakan dalam meter dan waktu t dinyatakan dalam sekon.
Apabila pada saat percepatan menjadi nol, maka kecepatan benda tersebut pada saat itu adalah ....

A. 1 m/s D. 6 m/s
B. 2 m/s E. 8 m/s
C. 4 m/s
Baca Juga
Pembahasan :
Konsep dasar yang perlu kita ingat ialah :
- Jarak adalah integral dari kecepatan terhadap waktu
  s(t) = ∫ v dt
- Kecepatan adalah turunan jarak terhadap waktu
  v(t) = ds
  dt
- Kecepatan adalah integral dari percepatan terhadap waktu
  v(t) = ∫ a dt
- Percepatan adalah turunan kecepatan terhadap waktu
  a(t) = dv
  dt
- Percepatan adalah turunan kedua dari jarak terhadap waktu
  a(t) = d²s
  dt²
Diketahui persamaan jarak :
⇒ s(t) = ⅓t³ - 2t² + 6r + 3

Persamaan kecepatan :
⇒ v(t) = ds
dt
⇒ v(t) = d (⅓t³ - 2t² + 6t + 3)
dt
⇒ v(t) = t² - 4t + 6

Persamaan percepatan :
⇒ a(t) = dv
dt
⇒ a(t) = d (t² - 4t + 6)
dt
⇒ a(t) = 2t - 4

Percepatan benda akan bernilai nol pada saat :
⇒ 0 = 2t - 4
⇒ 2t = 4
⇒ t = 2 detik

Karena percepatan bernilai nol pada detik kedua (t = 2), maka kecepatan benda menjadi :
⇒ v(t) = t² - 4t + 6
⇒ v(t) = 2² - 4.2 + 6
⇒ v(t) = 4 - 8 + 6
⇒ v(t) = 2 m/s
Jawaban : B
Kurva y = (x² + 2)² memotong sumbu y di titik A. Persamaan garis singgung pada kurva tersebut di titik A adalah .....
y = 8x + 4
y = -8x + 4
y = 4
y = -12x + 4
y = 12x + 4
Pembahasan :
Selain digunakan untuk menentukan persamaan suatu besaran turunan seperti kecepatan dan percepatan, konsep turunan juga dapat diaplikasikan untuk menentukan persamaan garis singgung. Dengan demikian, kita dapat menggunakan konsep turunan untuk menyelesaikan soal di atas.

Titik potong pada sumbu koordinat :
- Memotong sumbu y → berarti x = 0
- Memotong sumbu x → berarti y = 0
Pada soal, kurva memotong sumbu y pada titik A dengan x = 0 :
⇒ y = (x² + 2)²
⇒ y = (0² + 2)²
⇒ y = 4
Berarti titik A = (0,4)

Persamaan gradien garis singgung ditentukan dengan konsep turunan :
⇒ m = dy
dx
⇒ m = d (x² + 2)²
dx
⇒ m = 2 (x² + 2). 2x
⇒ m = 4x (x² + 2)

Untuk x = 0, maka gradiennya :
⇒ m = 4x (x² + 2)
⇒ m = 4.0 (0² + 2)
⇒ m = 0

Untuk menentukan persamaan garis yang melalui satu titik dan gradien m, dapat kita gunakan rumus berikut :
y − y₁ = m (x − x₁)

Dengan x₁ dan y₁ titik yang diketahui.

Berdasarkan rumus di atas, maka persamaan garis singgung pada titik (0,4) adalah :
⇒ y − y₁ = m (x − x₁)
⇒ y − 4 = 0 (x − 0)
⇒ y − 4 = 0
⇒ y = 4
Jawaban : C
Garis singgung pada kurva x² - y + 2x - 3 = 0 yang tegak lurus pada garis x - 2y + 3 = 0 mempunyai persamaan .....
y + 2x + 7 = 0
y + 2x + 3 = 0
y + 2x + 4 = 0
y + 2x - 7 = 0
y + 2x - 3 = 0
Pembahasan :
Hubungan gradien dua garis yang saling tegak lurus :
m₁.m₂ = -1

Dengan :
m₁ = gradien garis pertama
m₂ = gradien garis kedua

Gradien garis pertama diketahui :
⇒ x - 2y + 3 = 0
⇒ -2y = -x - 3
⇒ 2y = x + 3
⇒ y = ½x + ³⁄₂
⇒ m₁ = dy
dx
⇒ m₁ = d (½x + ³⁄₂)
dx
⇒ m₁ = ½

Gradien garis kedua :
⇒ m₁.m₂ = -1
⇒ ½ m₂ = -1
⇒ m₂ = -2

Sekarang kita cari dulu persamaan gradien garis kedua (m₂) berdasarkan kurvanya x² - y + 2x - 3 = 0, yaitu :
⇒ x² - y + 2x - 3 = 0
⇒ y = x² + 2x - 3
⇒ m₂ = dy
dx
⇒ m₂ = d (x² + 2x - 3)
dx
⇒ m₂ = 2x + 2

Selanjutnya kita harus mencari titik potong kurva terlebih dahulu. Untuk mencari titik potong, subsitusi nilai m₂ ke persamaan gradiennya :
⇒ m₂ = 2x + 2
⇒ -2 = 2x + 2
⇒ -2 - 2 = 2x
⇒ 2x = -4
⇒ x = -2

Untuk x = -2, kita peroleh :
⇒ y = x² + 2x - 3
⇒ y = (-2)² + 2(-2) - 3
⇒ y = 4 - 4 - 3
⇒ y = -3
Berarti titik potongnya = (-2,-3)

Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah :
⇒ y − y₁ = m (x − x₁)
⇒ y − (-3) = -2 (x − (-2))
⇒ y + 3 = -2 (x + 2)
⇒ y + 3 = -2x - 4
⇒ y + 2x + 3 + 4 = 0
⇒ y + 2x + 7 = 0
Jawaban : A

Soal SBMPTN tentang Aplikasi Turunan

Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) adalah 3√x. Jika kurva tersebut melalui titik (4, 9), maka persamaan garis singgung kurva ini di titik berabsis 1 adalah .....
A. 3x - y - 1 = 0
B. 3x - y + 4 = 0
C. 3x - y - 4 = 0
D. 3x - y + 8 = 0
E. 3x - y - 8 = 0

Pembahasan :
Ingat konsep bahwa persamaan gradien garis singgung merupakan turunan pertama dari fungsi f(x) = y'. Karena pada soal gradiennya sudah diketahui :
⇒ m = 3√x
⇒ y' = 3√x

Fungsi f(x) = y dapat ditentukan dengan konsep integral :
⇒ y = ∫ m dx
⇒ y = ∫ 3√x dx
⇒ y = 2x^3/2 + c

Karena kurvanya melalui titik (4, 9), maka substitusi nilai x = 4 dan y = 9 pada persamaannya untuk menentukan nilai c, sebagai berikut :
⇒ y = 2x^3/2 + c
⇒ 9 = 2 (4)^3/2 + c
⇒ 9 = 2 (4^½.4¹) + c
⇒ 9 = 2 (√4.4) + c
⇒ 9 = 2 (8) + c
⇒ c = 9 - 16
⇒ c = -7

Karena c = -7, maka fungsi kurvanya menjadi :
⇒ y = 2x^3/2 + (-7)
⇒ y = 2x^3/2 - 7

Pada soal ditanya persamaan garis singgung kurva di titik berabsis 1, maka substitusi nilai x = 1 untuk mencari titik potongnya :
⇒ y = 2.(1)^3/2 - 7
⇒ y = 2 - 7
⇒ y = -5
Titik potong = (1, -5)

Selanjutnya kita tentukan gradien garis singgung di titik (1, -5) :
⇒ m = 3√x
⇒ m = 3√1
⇒ m = 3

Dengan demikian, persamaan garis singgung di titik (1, -5) adalah :
⇒ y - y₁ = m (x - x₁)
⇒ y - (-5) = 3 (x - 1)
⇒ y + 5 = 3x - 3
⇒ 0 = 3x - 3 - y - 5
⇒ 3x - y - 8 = 0
Jawaban : E
Luas sebuah lingkaran adalah sebuah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah x, maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah ....
A. πx D. ^x⁄_π
B. 2πx E. ^2x⁄_π
C.^x⁄_2π

Pembahasan :
Untuk menyelesaikan soal ini tentu kita harus mengerti rumus menentukan keliling dan luas lingkaran.
- Rumus keliling lingkaran :
  K = 2 π.r
- Rumus luas lingkaran :
  L = π.r²
Karena luas lingkaran dinyatakan sebagai fungsi keliling, maka kedua rumus di atas harus dihubungkan sebagai berikut :
⇒ K = 2 π.r
⇒ r = K
2π

Substitusi r ke persamaan luas, sehingga diperoleh :
⇒ L = π.r²
⇒ L = π. K²
(2π)²
⇒ L = πK²
4π²
⇒ L = K²
4π

Karena pada soal keliling dinyatakan dalam x, maka persamaannya menjadi :
⇒ L(x) = x²
4π

Laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya sama dengan turunan dari fungsi luas L(x) terhadap kelilingnya (x). Jika laju perubahan dimisalkan v, maka :
⇒ v = d L
dx
⇒ v = d (x²/4π)
dx
⇒ v = d (¹⁄_4π x²)
dx
⇒ v = 2x
4π
⇒ v = x
2π
Jawaban : C
Jika jarak suatu titik dari suatu posisi P pada setiap waktu t diberikan sebagai s(t) = A sin 2t, A > 0, maka kecepatan terbesar diperoleh pada waktu t sama dengan .....
^k⁄₂ π, k = 0, 1, 2, 3, ....
^k⁄₂ π, k = 1, 3, 5, ....
^k⁄₂ π, k = 0, 2, 4, 6, ....
kπ, k = ½ , 2½, 4½, ....
kπ, k = 1½, 3½, 5½, ....
Pembahasan :
Ingat konsep dasar bahwa kecepatan merupakan turunan dari jarak terhadap waktu.
Persamaan jarak :
⇒ s(t) = A sin 2t, A > 0

Kecepatan :
⇒ v = ds
dt
⇒ v = d (A sin 2t)
dt
⇒ v = A cos 2t. 2
⇒ v = 2A cos 2t

Karena persamaan kecepatannya bergantung pada cos 2t dan nilai tertinggi untuk cos adalah 1, maka kecepatan maksimum akan tercapai bila :
⇒ cos 2t = 1
⇒ 2t = ± n.2π
⇒ 2t = ± 2n π ; dengan n = 0, 1, 2, 3, ....

Karena opsi pilihan dinyatakn dalam k, maka kita misalkan k = 2n.
⇒2t = ± k π ; dengan k = 0, 2, 4, 6, ....

Dengan demikian, kecepatan terbesar diperoleh pada :
⇒2t = ± k π
⇒ t = k π ; k = 0, 2, 4, 6, ....
2
Jawaban : C