Beranda

Kumpulan Soal SBMPTN dan Pembahasan Persamaan Kuadrat

Jeger

September 05, 2015

Posting Komentar

komentar teratas

Terbaru dulu

Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan kuadrat x² - x - p = 0 sama dengan kuadrat jumlah kebalikan akar-akar persamaan x² - px - 1 = 0, maka nilai p sama dengan .....

A. √2 + 1

B. √2 - 1

C. √2 + 1 atau -√2 + 1

D. √3 - 1 atau √3 + 1

E. 2 - √2 atau 2 + √2

Pembahasan :
Jika ada dua persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berhubungan dengan pola hubungan tertentu, maka yang harus kita lakukan adalah mencari nilai jumlah akar dan hasil kali akar masing-masing persamaan kuadrat dan selanjutnya memanfaatkan nilai atau persamaan yang kita peroleh untuk menentukan nilai variabel yang ditanya.

Dengan demikian, berikut beberapa langkah yang dapat kita lakukan :

Baca Juga

Tentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat pertama
Tentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat kedua
Tulis hubungan akar-akar kedua persamaan dalam bentuk matematika dan substitusi nilai atau persamaan yang kita peroleh dari langkah 1 dan 2.
Tentukan nilai p berdasarkan persamaan yang dipeoleh pada langkah 3.

Langkah Pertama
Dari x² - x - p = 0

Dik : a = 1, b = -1, c = -p

Jumlah akar :
⇒ u + v = ^-b⁄_a
⇒ u + v = ¹⁄₁
⇒ u + v = 1

Hasil kali akar :
⇒ u.v = ^c⁄_a
⇒ u.v = ^-p⁄₁
⇒ u.v = -p

Langkah Kedua
Dari x² - px - 1 = 0
Dik : a = 1, b = -p, c = -1

Jumlah akar :
⇒ m + n = ^-b⁄_a
⇒ m + n = ^p⁄₁
⇒ m + n = p

Hasil kali akar :
⇒ m.n = ^c⁄_a
⇒ m.n = ^-1⁄₁
⇒ m.n = -1

Langkah Ketiga
Untuk menulis hubungan akar dalam bentuk matematika maka kita harus teliti dalam mengartikan kalimat. Kata "kuadrat jumlah kebalikan" harus kita tulis dari belakang yaitu kebalikan akar (seper akar) dijumlahkan kemudian dikuadratkan. Sedangkan kata "jumlah kuadrat" artinya dikuadratkan dulu baru dijumlahkan.

Sehingga, hubungan akar-akar persamaan kuadrat pertama dan kedua dalam bentuk matematika dapat ditulis menjadi :
⇒ u² + v² = (¹⁄_m + ¹⁄_n)²

⇒ (u + v)² - 2u.v =	(m + n)²
	(m.n)²

⇒ (1)² - 2(-p) =	(p)²
	(-1)²

⇒ 1 + 2p = p²
⇒ p² - 2p - 1 = 0
Dik a = 1, b = -2, c = -1

Langkah Keempat
Nilai p dapat ditentukan dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat yang kita peroleh di langkah ketiga. Untuk mencari akar-akar tersebut, kita dapat menggunakan Rumus Kuadrat abc sebagai berikut :

⇒ p_1,2 =	-b ± √b² - 4a.c
	2a

⇒ p_1,2 =	-(-2) ± √(-2)² - 4(1)(-1)
	2(1)

⇒ p_1,2 =	2 ± √4 + 4
	2

⇒ p_1,2 =	2 ± √8
	2

⇒ p_1,2 =	2 ± 2√2
	2

⇒ p_1,2 = 1 ± √2

Karena akar-akarnya persamaan x² - x - p = 0 real, maka ada syarat yang harus dipenuhi yaitu :
⇒ D > 0

⇒ b² - 4ac > 0

⇒ (-1)² - 4(1)(-p) > 0

⇒ 1 + 4p > 0

⇒ p > -¼

Dengan demikian nilai p yang memenuhi adalah 1 + √2 karena nilainya positif dan lebih besar dari -¼. Sedangkan 1 - √2 tidak memenuhi karena bernilai lebih kecil dari -¼.

Jawaban : A

Jumlah akar-akar persamaan |x|² - 2|x| - 3 = 0 sama dengan ....
A. -10 D. 0
B. -3 E. 4
C. -1

Pembahasan :
Prinsip pengerjaan soal di atas sama dengan persamaan kuadrat biasa hanya saja karena variabel x dalam bentuk mutlak |x| yang berarti ada dua nilai x yaitu x < 0 (-x) dan x ≥ 0 (x), maka ada dua persamaan yang berbeda.

Untuk x < 0
Substitusikan |x| = -x
⇒ |x|² - 2|x| - 3 = 0
⇒ (-x)² - 2(-x) - 3 = 0
⇒ x² + 2x - 3 = 0
⇒ (x + 3)(x - 1) = 0
⇒ x₁ = -3 atau x₂ = 1

Untuk x > 0
Substitusikan |x| = x
⇒ |x|² - 2|x| - 3 = 0
⇒ (x)² - 2(x) - 3 = 0
⇒ x² - 2x - 3 = 0
⇒ (x - 3)(x + 1) = 0
⇒ x₃ = 3 atau x₄ = -1

Dengan demikian, jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah :
⇒ Jumlah akar = x₁ + x₂ + x₃ + x₄
⇒ Jumlah akar = -3 + 1 + 3 + (-1)
⇒ Jumlah akar = 0

Dengan menggunakan prinsip jumlah akar-akar persamaan kuadrat, akan kita peroleh hasil yang sama :
Untuk x² + 2x - 3 = 0 dik a = 1, b = 2, c = -3
⇒ x₁ + x₂ = ^-b⁄_a
⇒ x₁ + x₂ = ^-2⁄₁
⇒ x₁ + x₂ = -2

Untuk x² - 2x - 3 = 0 dik a = 1, b = -2, c = -3
⇒ x₃ + x₄ = ^-b⁄_a
⇒ x₃ + x₄ = ²⁄₁
⇒ x₃ + x₄ = 2

Dengan demikian jumlah akar-akarnya :
⇒ Jumlah akar = x₁ + x₂ + x₃ + x₄
⇒ Jumlah akar = -2 + 2 = 0

Jawaban : D

Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x² - 3x + n = 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat x² + x - n = 0, maka nilai n adalah ....

A. 8	D. -8
B. 6	E. -10
C. -2

Pembahasan :
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x² - 3x + n = 0 adalah p dan q, sedangkan akar-akar persamaan kuadrat x² + x - n = 0 adalah u dan v.

Sebagai langkah awal, mari kita cerna kalimat dalam soal tersebut. Jumlah kuadrat akar persamaan kuadrat pertama sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, dalam bentuk matematika dapat kita tulis sebagai berikut :
⇒ Jumlah kuadrat akar = jumlah pangkat tiga akar
⇒ p² + q² = u³ + v³

Selanjutnya, kita mencari nilai masing-masing ruas. Perhatikan tahap pengerjaan di bawah ini!

Persamaan kuadrat pertama
x² - 3x + n = 0
Dik : a = 1, b = -3, c = n

Jumlah akar :
⇒ p + q = ^-b⁄_a
⇒ p + q = ³⁄₁
⇒ p + q = 3

Hasil kali akar :
⇒ p.q = ^c⁄_a
⇒ p.q = ⁿ⁄₁
⇒ p.q = n

Jumlah kuadrat akar-akarnya :
⇒ p² + q² = (p + q)² - 2p.q
⇒ p² + q² = (3)² - 2(n)
⇒ p² + q² = 9 - 2n .......(1)

Persamaan kuadrat kedua
x² + x - n = 0
Dik : a = 1, b = 1, c = -n

Jumlah akar :
⇒ u + v = ^-b⁄_a
⇒ u + v = ^-1⁄₁
⇒ u + v = -1

Hasil kali akar :
⇒ u.v = ^c⁄_a
⇒ u.v = ^-n⁄₁
⇒ u.v = -n

Jumlah pangkat tiga akar-akarnya :
⇒ u³ + v³ = (u + v)³ - 3u.v (u + v)
⇒ u³ + v³ = (-1)³ - 3(-n) (-1)
⇒ u³ + v³ = -1 - 3n .... (2)

Karena persamaan (1) dan (2) bernilai sama, maka berlaku :
⇒ p² + q² = u³ + v³
⇒ 9 - 2n = -1 - 3n
⇒ -2n + 3n = -1 - 9
⇒ n = -10
Jadi, nilai n adalah -10.

Sebenarnya, langkah pengerjaan soal di atas cukup sederhana. Intinya, cari jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat pertama, cari jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, kemudian tentukan nilai n berdasarkan prinsip persamaan.

Jawaban : E

Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan berikut :

x² + x =	2
	x² + x + 1

maka nilai α.β adalah ......

2 atau -1
-2 atau 1
-2 atau -1
-2
-1

Pembahasan :
Kita misalkan x² + x = p, sehingga persamaannya menjadi :

⇒ p =	2
	p + 1

⇒ p(p + 1) = 2
⇒ p² + p - 2 = 0
⇒ (p + 2)(p - 1) = 0
⇒ p = -2 atau p = 1

Sekarang kita kembalikan pemisalan tadi.
Untuk p = -2
⇒ x² + x = p
⇒ x² + x = -2
⇒ x² + x + 2 = 0

Untuk mengetahui apakah akar-akar persamaan kuadrat tersebut real atau tidak, maka kita cek nilai diskriminannya.
⇒ D = b² - 4ac
⇒ D = 1² - 4(1)(2)
⇒ D = 1 - 8
⇒ D = -7 < 0

Ingat bahwa syarat agar akar-akarnya real, nilai D harus lebih besar sama dengan nol (D ≥ 0). . Karena D < 0, maka akar-akarnya tidak real dengan begitu nilai p = -2 tidak memenuhi.

Untuk p = 1
⇒ x² + x = p
⇒ x² + x = 1
⇒ x² + x - 1 = 0

Dengan cara yang sama kita tentukan diskriminannya :
⇒ D = b² - 4ac
⇒ D = 1² - 4(1)(-1)
⇒ D = 1 + 4
⇒ D = 5 > 0
Karena D > 0, maka akarnya real.

Dengan demikian, persamaan yang memenuhi adalah x² + x - 1 = 0. Dari persamaan tersebut, kita peroleh hasil kali akar sebagai berikut :
⇒ α.β = ^c⁄_a
⇒ α.β = ^-1⁄₁
⇒ α.β = -1

Jawaban : E

Akar-akar persamaan kuadrat x² + 6x + c = 0 adalah x₁ dan x₂. Akar-akar persamaan kuadrat x² + (x₁² + x₂²)x + 4 = 0 adalah u dan v. Jika u + v = -uv, maka x₁³.x₂ + x₁.x₂³ sama dengan .....

A. -64	D. 32
B. 4	E. 64
C. 16

Pembahasan :
Untuk menjawab soal di atas, langkah yang dapat kita lakukan yaitu :

Menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat pertama
Menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat kedua
Menentukan nilai c pada persamaan kuadrat petama
Menyusun persamaan kuadrat pertama setelah nilai c diperoleh
Menentukan nilai yang ditanya dalam soal

Langkah Pertama
Dari x² + 6x + c = 0,
Dik : a = 1 , b = 6, dan c = c.

Jumlah akar :
⇒ x₁ + x₂ = ^-b⁄_a
⇒ x₁ + x₂ = ^-6⁄₁
⇒ x₁ + x₂ = -6

Hasil kali akar :
⇒ x₁.x₂ = ^c⁄_a
⇒ x₁.x₂ = ^c⁄₁
⇒ x₁.x₂ = c

Langkah Kedua
Dari x² + (x₁² + x₂²)x + 4 = 0
Dik : a = 1 , b = (x₁² + x₂²), c = 4.

Jumlah akar :
⇒ u + v = ^-b⁄_a
⇒ u + v = ^-^{(x₁² + x₂²)}⁄₁
⇒ u + v = -(x₁² + x₂²)

Hasil kali akar :
⇒ u.v = ^c⁄_a
⇒ u.v = ⁴⁄₁
⇒ u.v = 4

Langkah Ketiga
Dari soal diketahui bahwa :
⇒ u + v = -uv

Dengan nilai yang kita peroleh di langkah kedua, maka :
⇒ -(x₁² + x₂²) = -4
⇒ x₁² + x₂² = 4

Karena persamaan sudah dalam bentuk akar-akar persamaan kuadrat pertama, maka manfaatkan nilai jumlah dan hasil kali akar pada langkah pertama. Untuk itu kita perlu menjabarkan persamaan tersebut dan merubahnya sedemikian rupa agar mengandung x₁ + x₂ dan x₁.x₂.
Jika dijabarkan, maka kita peroleh :
⇒ x₁² + x₂² = 4
⇒ (x₁ + x₂)² - 2x₁.x₂ = 4
⇒ (-6)² - 2(c) = 4
⇒ 36 - 2c = 4
⇒ -2c = 4 - 36
⇒ -2c = -32
⇒ c = 16

Langkah Keempat
Karena nilai c sudah diperoleh, selanjutnya substitusi nilai tersebut ke persamaan kuadrat pertama yang ada pada soal sehingga bentuknya
⇒ x² + 6x + c = 0
⇒ x² + 6x + 16 = 0
Dik a = 1, b = 6, dan c = 16

Dari langkah pertama sudah kita peroleh :
⇒ x₁ + x₂ = -6 dan x₁.x₂ = c = 16

Langkah Kelima
Untuk mencari nilai yang ditanya kita harus menjabarkan bentuk tersebut agar mengandung x₁ + x₂ dan x₁.x₂, sebagai berikut :
⇒ x₁³.x₂ + x₁.x₂³ = x₁.x₂(x₁² + x₂²)
⇒ x₁³.x₂ + x₁.x₂³ = 16(4)
⇒ x₁³.x₂ + x₁.x₂³ = 64

Jawaban : E

Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat (p - 2)x² + 2px + p -1 = 0 bernilai negatif dan berlainan adalah ....

p > 2
p < 0 atau p > ²⁄₃
0 < p < ²⁄₃
²⁄₃ < p < 1
²⁄₃ < p < 2

Pembahasan :
Dari (p - 2)x² + 2px + p -1 = 0
Dik : a = p -2, b = 2p, c = p -1

Syarat agar akar-akar suatu persamaan kuadrat bernilai negatif dan berlainan adalah :

Diskriminan D > 0
Jumlah akar lebih kecil dari nol
Hasil kali akar lebih besar dari nol

Syarat Pertama
Agar akar berlainan, nilai diskriminan harus lebih besar dari nol.
⇒ D > 0
⇒ b² - 4ac > 0
⇒ (2p)² - 4(p - 2)(p - 1) > 0
⇒ 4p² - 4(p² - 3p + 2) > 0
⇒ 4p² - 4p² + 12p - 8 > 0
⇒ 12p - 8 > 0
⇒ p > ²⁄₃

Syarat Kedua
Jumlah akar persamaan kuadratnya harus lebih kecil dari nol karena negatif tambah negatif hasilnya negatif.
⇒ x₁ + x₂ < 0
⇒ ^-b⁄_a < 0

⇒	-2p	< 0
	(p - 2)

⇒ p < 0 atau p > 2

Syarat Ketiga
Hasil kali akar-akarnya harus lebih besar dari nol karena negatif dikali negatif hasilnya positif atau lebih besar dari nol.
⇒ x₁.x₂ > 0
⇒ ^c⁄_a > 0

⇒	p - 1	> 0
	p - 2

⇒ p < 1 atau p > 2

Gabungan dari syarat pertama, kedua, dan ketiga adalah p > 2.

Jawaban : A

Diketahui akar-akar dari persamaan kuadrat (p - 2)x² + 4x + (p + 2) = 0 adalah α dan . Jika α.β² + β.α² = -20, maka nilai p adalah ....
A. -3 atau ^-6⁄₅
B. -3 atau ^-5⁄₆
C. -3 atau ⁵⁄₆
D. 3 atau ⁵⁄₆
E. 3 atau ⁶⁄₅

Pembahasan :
Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan prinsip penjumlahan dan perkalian akar-akar.
(p - 2)x² + 4x + (p + 2) = 0
Dik : a = p -2 ; b = 4; c = p + 2.

Hasil jumlah akar :
⇒ α + β = ^-b⁄_a
⇒ α + β = -4
p - 2

Hasil kali akar :
⇒ α.β = ^c⁄_a
⇒ α.β = p + 2
p - 2

Sekarang modifikasi soal menjadi :
⇒ α.β² + β.α² = -20
⇒ α.β (β + α) = -20

Substitusi nilai α.β dan (β + α) yang sudah kita peroleh :
⇒ p + 2 . -4 = -20
p - 2 p - 2
⇒ -4p - 8 = -20 (p - 2)(p - 2)
⇒ -4p - 8 = -20 (p² - 4p + 4)
⇒ -4p - 8 = -20p² + 80p - 80

Nolkan ruas kanan :
⇒ 20p² - 80p + 80 -4p - 8 = 0
⇒ 20p² - 84p + 72 = 0
⇒ 5p² - 21p + 18 = 0
Dik : a = 5; b = -21; c = 18

Untuk mencari nilai p, kita dapat menggunakan rumus abc :
⇒ p_1,2 = -b ± √D
2.a
⇒ p_1,2 = 21 ± √(-21)² - 4(5)(18)
2.5
⇒ p_1,2 = 21 ± √441 - 360
10
⇒ p_1,2 = 21 ± √81
10
⇒ p₁ = 21 + 9 = 3
10
⇒ p₂ = 21 ± √81 = ⁶⁄₅
10
Jadi, nilai p adalah 3 atau ⁶⁄₅
Jawaban : E
Diketahui 4x² - 2mx + 2m - 3 = 0. Agar kedua akarnya real berbeda dan positif, maka nilai m yang memenuhi adalah ....
m > 0
m > ³⁄₂
³⁄₂ < m < 2 atau m > 6
m ≥ 6
m < 2 atau m > 6
Pembahasan :
4x² - 2mx + 2m - 3 = 0
Dik : a = 4; b = -2m; c = 2m - 3.

Syarat agar kedua akar real dan positif adalah :
- Diskriminan lebih besar dari nol
- Hasil kali akar lebih besar dari nol
Sekarang mari kita tinjau satu-persatu :
⇒ D > 0
⇒ b² - 4.a.c > 0
⇒ 4m² - 4(4)(2m - 3) > 0
⇒ 4m² - 32m + 48 > 0
⇒ m² - 8m + 12 > 0
⇒ (m - 2)(m - 6) > 0
⇒ m < 2 atau m > 6 (Lihat dengan garis bilangan)

Selanjutnya tinjau syarat kedua :
⇒ x₁.x₂ > 0
⇒ ^c⁄_a> 0
⇒ 2m - 3 > 0
4
⇒ 2m - 3 > 0
⇒ m > ³⁄₂
Jadi, harga m yang memenuhi adalah :
³⁄₂ < m < 2 atau m > 6
Jawaban : C
Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan x² - 2x - a = 0 sama dengan jumlah kebalikan akar-akar persamaan x² - 8x + (a - 1) = 0, maka nilai a sama dengan ....
A. 2 D. -½
B. -3 E. 3
C. -1

Pembahasan :
Dari persamaan kuadrat pertama :
x² - 2x - a = 0
Dik : a = 1; b ; -2; c = -a

Jumlah akar :
⇒ x₁ + x₂ = ^-b⁄_a
⇒ x₁ + x₂ = 2

Hasil kali akar :
⇒ x₁.x₂ = ^c⁄_a
⇒ x₁.x₂ = -a
Dari persamaan kuadrat kedua :
x² - 8x + (a - 1) = 0
Dik : a = 1; b = -8; c = a - 1.

Jumlah akar :
⇒ α + β = ^-b⁄_a
⇒ α + β = 8

Hasil kali akar :
⇒ α.β = ^c⁄_a
⇒ α.β = a - 1

Hubungan akar-akar kedua persamaan :
⇒ x₁² + x₂² = ¹⁄_α + ¹⁄_β
⇒ (x₁ + x₂)² - 2 x₁.x₂ = α + β
α.β

Substitusi nilai-nilai jumlah dan hasil kali akar yang sudah diperoleh sebelumnya :
⇒ 2² - 2(-a) = 8
a - 1
⇒ 4 + 2a = 8
a - 1
⇒ (4 + 2a)(a - 1) = 8
⇒ 4a - 4 + 2a² - 2a = 8
⇒ 2a² + 2a - 4 = 8
⇒ 2a² + 2a - 12 = 0
⇒ a² + a - 6 = 0
⇒ (a - 2)(a + 3) = 0
⇒ a = 2 atau a = -3

Karena pada soal diketahui akar-akar persamaan kuadrat pertama merupakan akar real, maka harus memenuhi syarat berikut :
⇒ D > 0
⇒ b² - 4.a.c > 0
⇒ (-2)² - 4.1.(-a) > 0
⇒ 4 + 4a > 0
⇒ a > -1
Karena a harus lebih besar dari -1, maka nilai a = -3 tidak memenuhi syarat. Dengan begitu, nilai a yang memenuhi adalah a = 2.
Jawaban : A