Contoh Soal Penyelesaian Nilai dan Titik Minimum pada Program Linear
(Contoh 8 : Menentukan Nilai Minimum Fungsi Tujuan Program Linear). Seorang pedagang furnitur ingin mengirim barang dagangannya yang terdiri atas 1.200 kursi dan 400 meja. Untuk keperluan tersebut, ia akan menyewa truk dan colt. Truk dapat memuat 30 kursi lipat dan 20 meja lipat, sedangkan colt dapat memuat 40 kursi lipat dan 10 meja lipat. Ongkos sewa sebuah truk Rp 200.000,00 sedangkan ongkos sewa sebuah colt Rp 160.000,00. Tentukan jumlah truk dan colt yang harus disewa agar ongkos pengiriman minimum!
Inti dari soal cerita di atas adalah, kita diminta menentukan berapa jumlah masing-masing truk dan colt yang harus disewa agar biaya sewanya serendah mungkin. Dengan demikian, yang menjadi fungsi tujuan dalam soal cerita ini adalah ongkos sewa.
Itu artinya, fungsi tujuan untuk soal di atas dapat disusun dalam variabel jumla truk dan jumlah colt. Jika kita lakukan pemisalan variabel sebagai berikut:
2). Jumlah colt yang disewa = y
Jika dinyatakan dalam variabel x dan y, maka fungsi tujuannya adalah:
F(x,y) = 200.000x + 160.000y
Arti dari fungsi tujuan di atas adalah berapa nilai x (jumlah truk yang disewa) dan nilai y (jumlah colt yang disewa) agar dihasilkan nilai F minimum. Dengan kata lain, agar biaya sewa yang dikeluarkan rendah.
Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah sebagai berikut :
1). 30x + 40y ≥ 1.200 → 3x + 4y ≥ 120
2). 20x + 10y ≥ 400 → 2x + y ≥ 40
3). Jumlah truk tidak mungkin nol → x ≥ 0
4). Jumlah colt tidak mungkin nol → y ≥ 0
Contoh 9 : Nilai Minimum Fungsi ObjektifSeorang petani memiliki tanah tidak kurang dari 10 hektar. Ia merencanakan akan menanami padi seluas 2 hektar sampai dengan 6 hektar dan menanam jagung seluas 4 hektar sampai dengan 6 hektar. Untuk menanam padi perhektarnya diperlukan biaya Rp .400.000,00 sedangkan untuk menanam jagung per hektarnya diperlukan biaya Rp 200.000,00. Agar biaya tanam minimum, tentukan berapa banyak masing-masing padi dan jagung yang harus ditanam.
Pembahasan :
Pembahasan :
Inti dari soal cerita di atas adalah, kita diminta menentukan berapa jumlah masing-masing truk dan colt yang harus disewa agar biaya sewanya serendah mungkin. Dengan demikian, yang menjadi fungsi tujuan dalam soal cerita ini adalah ongkos sewa.
Baca Juga
Itu artinya, fungsi tujuan untuk soal di atas dapat disusun dalam variabel jumla truk dan jumlah colt. Jika kita lakukan pemisalan variabel sebagai berikut:
1). Jumlah truk yang disewa = x
2). Jumlah colt yang disewa = y
Jika dinyatakan dalam variabel x dan y, maka fungsi tujuannya adalah:
F(x,y) = 200.000x + 160.000y
Arti dari fungsi tujuan di atas adalah berapa nilai x (jumlah truk yang disewa) dan nilai y (jumlah colt yang disewa) agar dihasilkan nilai F minimum. Dengan kata lain, agar biaya sewa yang dikeluarkan rendah.
Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah sebagai berikut :
1). 30x + 40y ≥ 1.200 → 3x + 4y ≥ 120
2). 20x + 10y ≥ 400 → 2x + y ≥ 40
3). Jumlah truk tidak mungkin nol → x ≥ 0
4). Jumlah colt tidak mungkin nol → y ≥ 0
Selanjutnya gambarkan grafik yang berseusian dengan sistem pertidaksamaan yang sudah diperoleh. Caranya adalah menentukan titik potong untuk masing-masing garis kendala kemudian menentukan daerah himpunan penyelesaiannya.
Titik koordinat garis kendala 3x + 4y = 120
1). misal x = 0, maka y = 30 → titik potong (0,30)
2). misal y = 0, maka x = 40 → titik potong (40,0)
Titik koordinat garis kendala 2x + y = 40
1). misal x = 0, maka y = 40 → titik potong (0,40)
2). misal y = 0, maka x = 20 → titik potong (20,0)
Titik koordinat garis kendala 3x + 4y = 120
1). misal x = 0, maka y = 30 → titik potong (0,30)
2). misal y = 0, maka x = 40 → titik potong (40,0)
Titik koordinat garis kendala 2x + y = 40
1). misal x = 0, maka y = 40 → titik potong (0,40)
2). misal y = 0, maka x = 20 → titik potong (20,0)
Gambarkan ke dalam grafik dan tentukan daerah himpunan penyelesaiannya seperti berikut :
Selanjutnya kita uji masing-masing titik pojok untuk mencaritahu titik mana yang menghasilkan nilai paling kecil. Dari grafik di atas,diperoleh titik A(0, 40), B(8, 24), dan C(40, 0).
Substitusi ke fungsi tujuan F(x, y) = 200.000x + 160.000y, maka diperoleh:
Substitusi ke fungsi tujuan F(x, y) = 200.000x + 160.000y, maka diperoleh:
1). A(0,40) → F(x,y) = 200.000(0) + 160.000(40) = 6.400.000
2). B(8,24) → F(x,y) = 200.000(8) + 160.000(24) = 5.440.000
3). C(40,0) → F(x,y) = 200.000(40) + 160.000(0) = 8.000.000
Dari perhitungan di atas dapat dilihat bahwa titik pojok yang menghasilkan nilai terkecil adalah titik B(8, 24). Dengan demikian, agar biaya pengiriman minimum, maka pedagang tersebut sebaiknya menyewa 8 truk dan 24 colt. 2). B(8,24) → F(x,y) = 200.000(8) + 160.000(24) = 5.440.000
3). C(40,0) → F(x,y) = 200.000(40) + 160.000(0) = 8.000.000
Contoh 9 : Nilai Minimum Fungsi Objektif
Pembahasan :
Sama seperti menentukan nilai maksimum suatu fungsi objektif, untuk menentukan nilai minimum suatu fungsi objektif, kita juga terlebih dahulu menentukan sistem pertidaksamaan yang bersesuain dengan soal cerita. Salah satu ciri khas dari menentukan nilai minimum biasanya model matematikanya kebanyakan dalam bentuk lebih dari sama dengan (≥).
Jika dikaji berdasarkan model matematika program linear, maka biaya tanam minimum merupakan nilai minimum dari suatu fungsi objektif. Oleh karena itu, untuk menentukan nilai minimum tersebut, tentu kita harus menyusun terlebih dahulu fungsi objektifnya.
Untuk menyusun fungsi objektif atau fungsi tujuan, maka kita harus jeli menelaah soal cerita. Fungsi tujuan untuk soal di atas dinyatakan dalam variabel luas tanaman padi dan luas tanaman jagung. Karena itu, dapat dilakkan pemisalah sebagai berikut:
1). Luas tanaman padi = x
2). Luas tanaman jagung = y
Jika dinyatakan dalam variabel x dan y, maka fungsi tujuannya adalah:
F(x,y) = 400.000x + 200.000y
Arti dari fungsi tujuan di atas adalah berapa nilai x (luas tanaman padi) dan nilai y (luas tanaman jagung) agar fungsi tujuan F menghasilkan nilai minimum. Dengan kata lain, agar biaya tanam yang dikeluarkan minimum.
Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah :
1). Paling sedikit 2 hektar padi → x ≥ 2
2). Paling banyak 6 hektar padi → x ≤ 6
3). Paling sedikit 4 hektar jagung → y ≥ 4
4). Paling banyak 6 hektar padi → y ≤ 6
5). Tanah tidak kurang 10 hektar → x + y ≥ 10
Selanjutnya gambarkan grafik yang bersesuaian dengan masing-masing pertidaksamaan di atas dan tentukan daerah himpunan penyelesaiannya. Perhatikan grafik pada gambar di bawah ini terdapat 5 garis yang mewakili kelima pertidaksamaan di atas.
Untu garis x + y = 10, titik potongnya ditentukan sebagai berikut:
1). Untuk x = 0 → y = 10, maka titik potong (0, 10)
2). Untuk y = 0 → x = 10, maka titik potong (10, 0)
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian sistem, perhatikan arah HP untuk masing-masing garis kemudian temukan titik temunya. Pada gambar di bawah ini, tanda panah menunjukkan HP untuk masing-masing garis dan kombinasi dari kelimanya adalah daerah yang diarsir dengan tiga titik pojok ABC.
Langkah berikutnya adalah menguji masing-masing titik pojok untuk mengetahui titik mana yang menghasilkan nilai minimum. Dari grafik diketahui titik pojok A(4,6), B(6,6), dan C(6,4).
Substitusi ke fungsi tujuan F(x,y) = 400.000x + 200.000y, maka diperoleh :
1). A(4,6) → F(4,6) = 400.000(4) + 200.000(6) = 2.800.000
2). B(6,6) → F(6,6) = 400.000(6) + 200.000(6) = 3.600.000
3). C(6,4) → F(6,4) = 400.000(6) + 200.000(4) = 3.200.000
Dari perhitungan di atas, maka jelas terlihat bahwa titik pojok yang menghasilkan nilai paling kecil adalah titik A(4, 6). Dengan demikian, agar biaya tanam minimum, maka petani tersebut sebaiknya menanam 4 hektar padi dan 6 hektar jagung.
Jika dikaji berdasarkan model matematika program linear, maka biaya tanam minimum merupakan nilai minimum dari suatu fungsi objektif. Oleh karena itu, untuk menentukan nilai minimum tersebut, tentu kita harus menyusun terlebih dahulu fungsi objektifnya.
Untuk menyusun fungsi objektif atau fungsi tujuan, maka kita harus jeli menelaah soal cerita. Fungsi tujuan untuk soal di atas dinyatakan dalam variabel luas tanaman padi dan luas tanaman jagung. Karena itu, dapat dilakkan pemisalah sebagai berikut:
1). Luas tanaman padi = x
2). Luas tanaman jagung = y
Jika dinyatakan dalam variabel x dan y, maka fungsi tujuannya adalah:
F(x,y) = 400.000x + 200.000y
Arti dari fungsi tujuan di atas adalah berapa nilai x (luas tanaman padi) dan nilai y (luas tanaman jagung) agar fungsi tujuan F menghasilkan nilai minimum. Dengan kata lain, agar biaya tanam yang dikeluarkan minimum.
Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah :
1). Paling sedikit 2 hektar padi → x ≥ 2
2). Paling banyak 6 hektar padi → x ≤ 6
3). Paling sedikit 4 hektar jagung → y ≥ 4
4). Paling banyak 6 hektar padi → y ≤ 6
5). Tanah tidak kurang 10 hektar → x + y ≥ 10
Selanjutnya gambarkan grafik yang bersesuaian dengan masing-masing pertidaksamaan di atas dan tentukan daerah himpunan penyelesaiannya. Perhatikan grafik pada gambar di bawah ini terdapat 5 garis yang mewakili kelima pertidaksamaan di atas.
Untu garis x + y = 10, titik potongnya ditentukan sebagai berikut:
1). Untuk x = 0 → y = 10, maka titik potong (0, 10)
2). Untuk y = 0 → x = 10, maka titik potong (10, 0)
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian sistem, perhatikan arah HP untuk masing-masing garis kemudian temukan titik temunya. Pada gambar di bawah ini, tanda panah menunjukkan HP untuk masing-masing garis dan kombinasi dari kelimanya adalah daerah yang diarsir dengan tiga titik pojok ABC.
Langkah berikutnya adalah menguji masing-masing titik pojok untuk mengetahui titik mana yang menghasilkan nilai minimum. Dari grafik diketahui titik pojok A(4,6), B(6,6), dan C(6,4).
Substitusi ke fungsi tujuan F(x,y) = 400.000x + 200.000y, maka diperoleh :
1). A(4,6) → F(4,6) = 400.000(4) + 200.000(6) = 2.800.000
2). B(6,6) → F(6,6) = 400.000(6) + 200.000(6) = 3.600.000
3). C(6,4) → F(6,4) = 400.000(6) + 200.000(4) = 3.200.000
Dari perhitungan di atas, maka jelas terlihat bahwa titik pojok yang menghasilkan nilai paling kecil adalah titik A(4, 6). Dengan demikian, agar biaya tanam minimum, maka petani tersebut sebaiknya menanam 4 hektar padi dan 6 hektar jagung.
Tags:
matematika
