Contoh Cara Penyelesaian SPLDV dengan Eliminasi
Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah sistem persamaan linear yang memiliki dua variabel atau dua peubah. Itu artinya, nilai dari sistem persamaan linear tersebut bergantung ada nilai kedua pubahnya. Sistem persamaan linear dua variabel terdiri dari dua persamaan linear yang masing-masing memiliki dua variabel. Kedua variabel pada kedua persamaan linear tersebut sama misalnya dengan variabel x dan y atau sebagainya. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, dapat digunakan empat metode, yaitu metode grafik, metode eliminasi, metode substitusi, dan metode determinan. Pada kesempatan ini, siJeger akan membahas cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel menggunakan metode eliminasi.
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
1. Jika c1 = c2 = 0 → sistem persamaan homogen
2. Jika c1 ≠0 atau c2 ≠0 → sistem persamaan tidak homogen
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel merupakan proses penentuan nilai peubah x dan y yang memenuhi kedua persamaan linear penyusun SPLDV. Artinya, jika nilai x dan y tersebut dimasukkan ke persamaan linear, maka nilainya memenuhi kedua persamaan linear tersebut.
Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan empat metode, yaitu:
1. Metode grafik : melalui analisis grafik
2. Metode substitusi : menyatakan x sebagai fungsi y atau sebaliknya
3. Metode eliminasi : mengeliminasi salah satu peubah
4. Metode determinan : menggunakan konsep determinan.
Setelah salah satu nilai peubah diketahui, selanjutnya nilai peubah yang lainnya ditentukan dengan cara substitusi, yaitu memasukkan nilai peubah yang sudah diperoleh sebelumnya ke salah satu persamaan linear penyusun SPLDV.
Prinsip metode eliminasi sangat sederhana, yaitu dengan cara mengeliminasi peubah y untuk mendapat nilai peubah x atau sebaliknya, eliminasi peubah x untuk mendapat nilai peubah y.
Jika diberikan dua persamaan linear a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2, maka sistem persamaan linear yang dibentuk oleh kedua persamaan tersebut dapat siselesaikan menggunakan metode eliminasi dengan langkah sebagai berikut:
#1 Samakan bilangan real di belakang peubah
Untuk mengeliminasi peubah x, maka samakan nilai bilangan real yang ada di belakang peubah x pada masing-masing persamaan. Misal a1 dan a2 dapat disamakan menjadi a, maka bentuk persamaannya menjadi sebagai berikut:
Untu mengeliminasi peubah y, maka samakan nilai bilangan real yang ada di belakang peubah y pada masing-masing persamaan. Misal b1 dan b2 dapat disamakan menjadi b, maka bentuk persamaannya menjadi sebagai berikut:
#2 Tentukan nilai peubahnya
Dari proses pertama di atas, jika kita mengeliminasi peubah x maka kita akan memperoleh nilai peubah y. Sebaliknya, jika kita mengeliminasi peubah y, maka kita akan memperoleh nilai peubah x.
Nah, pada metode eliminasi anda kita juga bisa memanfaatkan metode substitusi setelah nilai salah satu peubah diketahui. Misalnya kita sudah mendapatkan nilai peubah x dengan cara mengeliminasi peubah y, maka nilai peubah y dapat ditentukan tanpa eliminasi lagi melainkan menggunakan metode substitusi.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear di bawah ini menggunakan metode eliminasi.
x + 4y = 14
3x + y = 20
Pembahasan :
Cara Pertama - Eliminasi
Cara pertama kita akan menggunakan metode eliminasi tanpa substitusi. Perhatikan sistem persamaan linearnya, lalu eliminasi kedua peubahnya secara bergantian.
Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan 3 agar jumlah variabel x nya sama.
x + 4y = 14 | x 3 ⇒ 3x + 12y = 42
3x + y = 20 | x 1 ⇒ 3x + y = 20
Selanjutnya, eliminasi x dan tentukan nilai y:
Untuk mengeliminasi y, maka kalikan persamaan kedua dengan 4 agar jumlah variabel y nya sama.
x + 4y = 14 | x 1 ⇒ x + 4y = 14
3x + y = 20 | x 4 ⇒ 12x + 4y = 80
Selanjutnya, eliminasi x dan tentukan nilai y:
Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPLDV itu adalah {(6,2)}.
Cara Kedua - Campuran
Cara pertama kita akan menggunakan metode eliminasi yang dicampur dengan metode substitusi. Perhatikan sistem persamaan linearnya, lalu tentukan mana yang mau dieliminasi.
Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan 3 agar jumlah variabel x nya sama.
x + 4y = 14 | x 3 ⇒ 3x + 12y = 42
3x + y = 20 | x 1 ⇒ 3x + y = 20
Selanjutnya, eliminasi x dan tentukan nilai y:
Setelah diperoleh nilai y, selanjutnya substitusi y = 2 ke salah satu persamaaan linear untuk memperoleh nilai perubah x, caranya sebagai berikut:
⇒ x + 4y = 14
⇒ x + 4(2) = 14
⇒ x + 8 = 14
⇒ x = 14 - 8
⇒ x = 6
Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPLDV itu adalah {(6,2)}.
Dari kedua cara di atas dihasilkan himpunan penyelesaian yang sama. Itu artinya anda bisa menggunakan cara mana yang anda suka. Anda bisa menggunakan metode eliminasi sepenuhnya atau campuran antara eliminasi dan substitusi.
Bentuk Umum SPLDV
Sebuah persamaan linear dua variabel terdiri dari bilangan real dan dua peubah. Dengan demikian, sistem persamaan linear dua variabel terdiri dari beberapa bilangan real dan dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan peubah x dan y dapat ditulis sebagai berikut:a1x + b1y = c1
Baca Juga
Pada bentuk umum di atas, a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 merupakan bilangan-bilangan real sedangkan x dan y adalah variabelnya. Perhatikan bentuk umum di atas, kedua persamaan linear yang membentuk SPLDV memiliki peubah yang sama yaitu x dan y.
Berdasarkan hubungan nilai c1 dan c2, sistem persamaan linear dua variabel dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu:
1. Jika c1 = c2 = 0 → sistem persamaan homogen
2. Jika c1 ≠0 atau c2 ≠0 → sistem persamaan tidak homogen
| SPLDV Homogen | SPLDV Tidak Homogen |
| a1x + b1y = 0 a2x + b2y = 0 | a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 |
| 4x - 2y = 0 2x + 3y = 0 | 4x - 2y = 3 2x + 3y = 0 |
| 3x + 5y = 0 2x - y = 0 | 3x + 5y = 16 2x - y = 2 |
| x - 4y = 0 2x - 5y = 0 | x - 4y = 1 2x - 5y = -3 |
| x + y = 0 2x + y = 0 | x + y = 0 2x + y = 4 |
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel merupakan proses penentuan nilai peubah x dan y yang memenuhi kedua persamaan linear penyusun SPLDV. Artinya, jika nilai x dan y tersebut dimasukkan ke persamaan linear, maka nilainya memenuhi kedua persamaan linear tersebut.
Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan empat metode, yaitu:
1. Metode grafik : melalui analisis grafik
2. Metode substitusi : menyatakan x sebagai fungsi y atau sebaliknya
3. Metode eliminasi : mengeliminasi salah satu peubah
4. Metode determinan : menggunakan konsep determinan.
Penyelesaian SPLDV Metode Eliminasi
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode eliminasi dapat dilakukan dengan cara mengeliminasi salah satu peubah sehingga dihasilkan persamaan linear satu variabel dan dapat ditentukan nilai peubahnya.Setelah salah satu nilai peubah diketahui, selanjutnya nilai peubah yang lainnya ditentukan dengan cara substitusi, yaitu memasukkan nilai peubah yang sudah diperoleh sebelumnya ke salah satu persamaan linear penyusun SPLDV.
Prinsip metode eliminasi sangat sederhana, yaitu dengan cara mengeliminasi peubah y untuk mendapat nilai peubah x atau sebaliknya, eliminasi peubah x untuk mendapat nilai peubah y.
Jika diberikan dua persamaan linear a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2, maka sistem persamaan linear yang dibentuk oleh kedua persamaan tersebut dapat siselesaikan menggunakan metode eliminasi dengan langkah sebagai berikut:
#1 Samakan bilangan real di belakang peubah
Untuk mengeliminasi peubah x, maka samakan nilai bilangan real yang ada di belakang peubah x pada masing-masing persamaan. Misal a1 dan a2 dapat disamakan menjadi a, maka bentuk persamaannya menjadi sebagai berikut:
| ax + b1y = c1 ax + b2y = c2 | _ |
| (b1 - b2)y = c1 - c2 |
Untu mengeliminasi peubah y, maka samakan nilai bilangan real yang ada di belakang peubah y pada masing-masing persamaan. Misal b1 dan b2 dapat disamakan menjadi b, maka bentuk persamaannya menjadi sebagai berikut:
| a1x + by = c1 a2x + by = c2 | _ |
| (a1 - a2)x = c1 - c2 |
#2 Tentukan nilai peubahnya
Dari proses pertama di atas, jika kita mengeliminasi peubah x maka kita akan memperoleh nilai peubah y. Sebaliknya, jika kita mengeliminasi peubah y, maka kita akan memperoleh nilai peubah x.
Nah, pada metode eliminasi anda kita juga bisa memanfaatkan metode substitusi setelah nilai salah satu peubah diketahui. Misalnya kita sudah mendapatkan nilai peubah x dengan cara mengeliminasi peubah y, maka nilai peubah y dapat ditentukan tanpa eliminasi lagi melainkan menggunakan metode substitusi.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear di bawah ini menggunakan metode eliminasi.
x + 4y = 14
3x + y = 20
Pembahasan :
Cara Pertama - Eliminasi
Cara pertama kita akan menggunakan metode eliminasi tanpa substitusi. Perhatikan sistem persamaan linearnya, lalu eliminasi kedua peubahnya secara bergantian.
Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan 3 agar jumlah variabel x nya sama.
x + 4y = 14 | x 3 ⇒ 3x + 12y = 42
3x + y = 20 | x 1 ⇒ 3x + y = 20
Selanjutnya, eliminasi x dan tentukan nilai y:
| 3x + 12y = 42 3x + y = 20 | _ |
| 11y = 22 y = 2 |
Untuk mengeliminasi y, maka kalikan persamaan kedua dengan 4 agar jumlah variabel y nya sama.
x + 4y = 14 | x 1 ⇒ x + 4y = 14
3x + y = 20 | x 4 ⇒ 12x + 4y = 80
Selanjutnya, eliminasi x dan tentukan nilai y:
| x + 4y = 14 12x + 4y = 80 | _ |
| -11x = -66 x = 6 |
Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPLDV itu adalah {(6,2)}.
Cara Kedua - Campuran
Cara pertama kita akan menggunakan metode eliminasi yang dicampur dengan metode substitusi. Perhatikan sistem persamaan linearnya, lalu tentukan mana yang mau dieliminasi.
Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan 3 agar jumlah variabel x nya sama.
x + 4y = 14 | x 3 ⇒ 3x + 12y = 42
3x + y = 20 | x 1 ⇒ 3x + y = 20
Selanjutnya, eliminasi x dan tentukan nilai y:
| 3x + 12y = 42 3x + y = 20 | _ |
| 11y = 22 y = 2 |
Setelah diperoleh nilai y, selanjutnya substitusi y = 2 ke salah satu persamaaan linear untuk memperoleh nilai perubah x, caranya sebagai berikut:
⇒ x + 4y = 14
⇒ x + 4(2) = 14
⇒ x + 8 = 14
⇒ x = 14 - 8
⇒ x = 6
Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPLDV itu adalah {(6,2)}.
Dari kedua cara di atas dihasilkan himpunan penyelesaian yang sama. Itu artinya anda bisa menggunakan cara mana yang anda suka. Anda bisa menggunakan metode eliminasi sepenuhnya atau campuran antara eliminasi dan substitusi.
Tags:
matematika
