Contoh Soal dan Penyelesaian Persamaan Linear Kuadrat Eksplisit

Sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) adalah sistem persamaan yang terdiri dari sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat. Berdasarkan karakter persamaan kuadratnya, sistem persamaan linear dan kuadrat dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu SPLK dengan persamaan kuadrat eksplisit dan SPLK dengan persamaan kuadrat implisit. Persamaan dengan dua peubah x dan y dikatakan eksplisit jika persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Karena terdiri dari persamaan linear dan persamaan kuadrat, maka penyelesaian SPLK melibatkan beberapa metode yang telah dipelajari dalam persamaan linear dan persamaan kuadrat. Pada kesempatan ini, siJeger akan membahas cara menentukan penyelesaian untuk sistem persamaan linear dan kuadrat dengan bentuk kuadrat bersifat eksplisit.

Bentuk Umum SPLK Eksplisit

Sistem persamaan linear dan kuadrat eksplisit merupakan sistem persamaan yang terdiri dari bagian linear dan bagian kuadrat yang berbentuk eksplisit. Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dalam variabel x dan y dapat ditulis sebagai berikut:

y = ax + b          → Linear
y = px² + qx + r → Kuadrat

Pada sistem persamaan di atas, x dan y adalah variabel atau peubah sedangkan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real. Pada beberapa buku mungkin menggunakan simbol yang berbeda tetapi bentuknya pasti sama.

Contoh SPLK Eksplisit:
y = x + 4     → Bagian linear
y = x² + 2   → Bagian kuadrat

y = 2x + 3  → Bagian linear
y = x²         → Bagian kuadrat

y = 2x - 2   → Bagian linear
y = x² - 1   → Bagian kuadrat.

Penyelesaian SPLK Eksplisit

Sistem persamaan linear dan kuadrat dengan bagian kuadrat eksplisit dapat diselesaikan dengan cara membentuk persamaan kuadrat baru berdasarkan persamaan linearnya. Pembentukan ini dilakukan dengan cara mensubstitusi persamaan linear ke dalam persamaan kuadrat.

Saat persamaan lienar y = ax + b disubstitusikan ke dalam persamaan kuadrat y = px² + qx + r, maka akan diperoleh bentuk persamaan kuadrat sebagai berikut:
⇒ y = px² + qx + r
⇒ ax + b = px² + qx + r
⇒ 0 = px² + qx + r - ax - b
⇒ px² + qx + r - ax - b = 0
⇒ px² + (q - a)x + (r - b) = 0

Pada proses substitusi di atas, kita lihat dihasilkan bentuk persamaan kuadrat. Selanjutnya kita tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut untuk memperoleh nilai x. Setelah itu, kita substitusikan nilai x ke bagian linear untuk menentukan nilai y.

Dengan demikian, langkah penyelesaian SPLK Eksplisit adalah:
1. Substitusi bagian linear ke bagian kuadrat
2. Tentukan akar persamaan kuadrat yang terbentuk
3. Substitusi nilai akar yang diperoleh ke bagian linear
4. Tentukan HP berdasarkan nilai x dan y yang diperoleh

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian untuk sistem persaman linear dan kuadrat berikut:
y = x - 4
y = x² - 6

Pembahasan :
Langkah pertama substitusikan y = x - 4 ke bentuk y = x² - 6 sehingga diperoleh persamaan kuadrat sebagai berikut:
⇒ y = x² - 6
⇒ x - 4 = x² - 6
⇒ 0 = x² - 6 - x + 4
⇒ 0 = x² - x - 2

Langkah kedua, tentukan akar dari persamaan kuadrat tersebut.
⇒ x² - x - 2 = 0
⇒ (x - 2)(x + 1) = 0
⇒ x = 2 atau x = -1

Langkah ketiga, substitusi nilai x ke y = x - 4 untuk memperoleh nilai y. Karena nilai x ada dua, maka kita akan memperoleh dua nilai y juga.

Untuk x = 2
⇒ y = x - 4
⇒ y = 2 - 4
⇒ y = -2

Untuk x = -1
⇒ y = x - 4
⇒ y = -1 - 4
⇒ y = -5

Langkah terakhir tentukan himpunan penyelesaian SPLK berdasarkan nilai x dan y yang sudah diperoleh dari langkah sebelumnya. Dengan demikian, HP untuk SPLK tersebut adalah {(-1, -5), (2, -2)}.

Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat berikut:
y = 2x + 2
y = x² + 4x + 3

Pembahasan :
Substitusi y = 2x + 2 ke bagian kuadrat:
⇒ y = x² + 4x + 3
⇒ 2x + 2 = x² + 4x + 3
⇒ 0 = x² + 4x + 3 - 2x - 2
⇒ 0 = x² + 2x + 1
⇒ x² + 2x + 1 = 0

Tentukan akar persamaan kuadrat yang dihasilkan:
⇒ x² + 2x + 1 = 0
⇒ (x + 1)(x + 1) = 0
⇒ x = -1

Substitusi nilai x = -1 ke bagian linear:
⇒ y = 2x + 2
⇒ y = 2(-1) + 2
⇒ y = -2 + 2
⇒ y = 0

Jadi, himpunan penyelesaian untuk SPLK tersebut adalah {(-1, 0)}.