Ketika dua pernyataan majemuk memiliki nilai kebenaran yang sama persis untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari komponen-komponennya, maka kedua pernyataan majemuk tersebut adalah dua pernyataan yang ekuivalen. Ekuivalen ditulis menggunakan lambang '≡' yang menandakan bahwa dua pernyataan memiliki nilai kebenaran yang sama. Pernyataan majemuk tautologi yang melibatkan biimplikasi disebut juga sebagai ekuivalen logis. Untuk melihat pernyataan-pernyataan majemuk yang ekuivalen tentu saja dapat digunakan tabel kebenaran. Pada kesempatan ini, si Jeger akan membahas beberapa contoh pernyataan majemuk yang ekuivalen dan sifat-sifat yang berlaku pada ekuivalensi tersebut.
#1 Sifat Komutatif
Pernyataan majemuk yang ekuivalen disebut bersifat komutatif jika posisi pernyataan komponen pada pernyataan majemuk kedua merupakan kebalikan dari pernyataan pertama. Dengan kata lain, kedua pernyataan tersebut menggunakan operator logika yang sama hanya berberda urutan komponen saja.
Untuk memahami sifat komutatif, kita analogikan dengan operasi perkalian bilangan bulat. Operasi 4 x 5 akan sama hasilnya dengan operasi 5 x 4 yaitu sama-sama 20. Pada contoh ini, angka 4 dan 5 hanya bertukar posisi sedangkan operatornya tetap sama yaitu operator perkalian.
Sifat demikian juga berlaku dalam pernyataan majemuk tertentu. Sifat komutatif dapat ditemukan pada pernyataan majemuk yang melibatkan operasi logika '∨' dan '∧' atau yang dikenal sebagai pernyataan disjungsi dan konjungsi.
Operasi disjungsi dan konjungsi dalam logika matematika memenuhi sifat komutatif sebagai berikut.
Ekuivalen dari Disjungsi :
Sifat atau hubungan di atas dapat dibaca p atau q ekuivalen dengan q atau p, artinya pernyataan majemuk p ∨ q memiliki nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan q ∨ p.
Ekuivalen dari Konjungsi:
Sifat komutatif di atas dapat dibuktikan melalui tabel kebenaran di bawah ini.
Tabel kebenaran Disjungsi:
| p | q | p ∨ q | q ∨ p |
| B | B | B | B |
| B | S | B | B |
| S | B | B | B |
| S | S | S | S |
Tabel Kebenaran Konjungsi:
| p | q | p ∧ q | q ∧ p |
| B | B | B | B |
| B | S | S | S |
| S | B | S | S |
| S | S | S | S |
#2 Sifat Distributif
Selain sifat komutatif, pada penyataan disjungsi dan konjungsi juga berlaku sifat distributif. Sifat distributif ditandai dengan penambahan atau pendistribusian sebuah operator logika dari salah satu operator yang digunakan dan biasanya melibatkan tiga pernyataan komponen.
a). Distributif disjungsi terhadap konjungsi
| p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) |
b). Distributif konjungsi disjungsi
| p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) |
#3 Sifat Asosiatif
Sifat ketiga yang juga berlaku pada pernyataan konjungsi dan disjungsi adalah sifat asosiatif. Pada sifat asosiatif, jumlah operator dan jumlah pernyataan komponen tetap hanya saja posisi tanda kurungnya berubah.
a). Asosiatif pada disjungsi
| (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) |
b). Asosiatif pada konjungsi
| (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) |
#4 Hukum De Morgan
Ketiga sifat sebelumnya berlaku untuk pernyataan disjungsi dan konjungsi. Lalu bagaimana dengan ingkarannya? Pernyataan ekuivalen dengan ingkaran disjungsi dan ingkaran konjungsi dibahas dalam hukum De Morgan sebagai berikut:
a). Ekuivalen negasi disjungsi
b). Ekuivalen negasi konjungsi
Untuk membuktikan kebenaran sifat di atas, anda dapat melihat tabel kebenaran untuk ingkaran konjungsi dan disjungsi yang sudah dibahas pada artikel sebelumnya. Anda dapat mengunjunginya melalui link di bawah ini.
#5 Implikasi dan Negasi Implikasi
a). Ekuivalen dari Implikasi
b) Ekuivalen dari Negasi Implikasi
#6 Biimplikasi dan Negasi Biimplikasi
a). Ekuivalen dari Biimplikasi
| p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) |
b) Ekuivalen dari Negasi Biimplikasi
| ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p) |
Untuk melihat membuktikan kebenaran sifat di atas berdasarkan tabel kebenaran, anda dapat mengunjungi beberapa artikel sebelumnya yang membahas tentang tabel kebenaran untuk implikasi, biimplikasi, ingkaran implikasi dan ingkaran biimplikasi melalui link di bawah.
