Disjungsi dan Tabel Kebenarannya dalam Logika Matematika

Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari gabungan dua pernyataan tunggal yang dirangkai dengan kata hubung 'atau'. Kata hubung yang digunakan untuk menyatakan disjungsi dilambangkan dengan '∨'. Disjungsi merupakan salah satu jenis pernyataan dalam logika matematika dan bersama dengan konsep logika lainnya sering digunakan untuk menganalisis kebenaran dalam kasus kepolisian untuk membuktikan suatu kejadian berdasarkan pernyataan-pernyataan yang muncul. Dengan melihat tabel kebenaran dari pernyataan disjungsi yang diperoleh, kebenaran akan suatu pernyataan dapat diselediki. Pada kesempatan ini, si Jeger akan membahas tentang tabel kebenaran disjungsi dan ingkaran atau negasi dari disjungsi.

Jenis-jenis Disjungsi

Disjungsi merupakan salah satu operator logika yang dilambangkan dengan '∨' yang menjadi simbol dari kata hubung atau. Secara umum dikenal dua jenis disjungsi, yaitu:
1. Disjungsi ekslusif
2. Disjungsi inklusif

#1 Disjungsi Ekslusif
Disjungsi ekslusif adalah jenis disjungsi yang bersifat menyisihkan dan disimbolkan dengan '∨'. Dalam disjungsi ekslusif, kata hubung 'atau' digunakan untuk menyisih atau memisah pilihan atau kondisi. Disjungsi ekslusif bernilai benar jika salah satu pernyataan bernilai salah dan bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai benar.

Contoh :
1. Rani naik pesawat terbang atau kapal laut
2. Akar dari bilangan rasional positif adalah rasional atau irasional

Kedua pernyataan di atas termasuk disjungsi eksklusif karena yang dimaksudkan dalam pernyataan tersebut adalah salah satunya saja. Pada pernyataan pertama, jika Rani naik pesawat terbang maka dia pasti tidak naik kapal laut. Begitupula pernyataan kedua, jika akar bilangan rasional positif adalah irasional maka pasti bukan rasional atau sebaliknya.

#2 Disjungsi Inklusif
Disjungsi inklusif adalah jenis disjungsi yang bersifat mencakup dan disimbolkan dengan '∨'. Dalam disjungsi inklusif, kata hubung 'atau' digunakan untuk mencakup yang artinya keduanya mungkin saja termasuk. Disjungsi inklusif bernilai benar jika kedua atau salah satu pernyataan bernilai benar dan bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah.

Contoh :
1. Dewa anak pintar atau rajin belajar
2. Sebuah bilangan asli adalah bilangan cacah atau bilangan bulat.

Pada contoh pertama, kata atau mencakup keduanya. Artinya, Dewa merupakan anak pintar atau rajin belajar atau bisa saja keduanya yaitu Dewa anak pintar dan rajin belajar sekaligus. Pada contoh kedua, bilangan asli bisa saja merupakan bilangan cacah atau bilangan bulat atau bilangan cacah dan bilangan bulat sekaligus.

Tabel Kebenaran Disjungsi

Disjungsi yang akan kita bahas adalah disjungsi inklusif. Misal dua pernyataan tunggal p dan q digabungkan dan dirangkai dengan kata hubung atau, maka pernyataan gabungannya dapat ditulis sebagai berikut:

p ∨ q, (dibaca p atau q, atau p dan q)

Nilai kebenaran disjungsi dapat ditentukan dengan melihat kebenaran dari kedua pernyataan tunggalnya. Disjungsi akan bernilai benar jika kedua pernyataan atau salah satu pernyataan bernilai benar dan akan bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah.

p	q	p ∨ q	Dibaca
B	B	B	Jika p benar atau q benar, maka p ∨ q benar
B	S	B	Jika p benar atau q salah, maka p ∨ q benar
S	B	B	Jika p salah atau q benar, maka p ∨ q benar
S	S	S	Jika p salah atau q salah, maka p ∨ q salah

Disjungsi dua pernyataan dapat dihubungkan dengan gabungan dua himpunan. Jika P dan Q masing-masing adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S seperti terlihat pada gambar di bawah, maka P ∪ Q adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) ∨ q(x) pada himpunan semesta yang sama.


Jika ditulis dalam bentuk lambang himpunan, maka gabungan dua himpunan P dan Q dapat ditulis sebagai berikut : P ∪ Q = {x| p(x) ∨ q(x)}.

Negasi atau Ingkaran Disjungsi

Jika disjungsi dari pernyataan p dan q ditulis dengan p ∨ q, maka negasi atau ingkaran dari disjungsi tersebut dapat ditulis adalah ~(p ∨ q). Kebenaran dari negasi disjungsi dapat dilihat pada tabel berikut ini:

p	q	~p	~q	p ∨ q	~(p ∨ q)	~p ˄ ~q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	B	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	B	B

Dari tabel kebenaran di atas dapat kita lihat bahwa:

~(p ∨ q) ≡ ~p ˄ ~q

Contoh :
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan disjungsi berikut:
1. Rika rajin belajar atau rajin berolahraga
2. Dea anak yang pintar atau rajin
3. Leoni hobi membaca atau hobi menulis
4. Tiga adalah bilangan prima atau bilangan ganjil
5. Gadis itu adalah seorang dokter atau seorang penyanyi

Pembahasan :
Ingkaran atau negasi dai penyataan tersebut adalah :
1. Rika tidak rajin belajar dan tidak rajin olahraga
2. Dea bukan anak yang pintar dan tidak rajin
3. Leoni tidak hobi membaca dan tidak hobi menulis
4. Tiga bukan bilangan prima dan bukan bilangan ganjil
5. Gadis itu bukan seorang dokter dan bukan seorang penyanyi