Contoh Soal dan Penyelesaian Menentukan Suku ke n Barisan Aritmatika

Kumpulan soal dan pembahasan tentang cara menentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika. Pada beberapa pembahasan mengenai barisan aritmatika, Si Jeger telah memaparkan beberapa kondisi yang umum muncul dalam soal. Pada kesempatan ini, Si Jeger akan merangkum beberapa contoh soal menentukan rumus suku ke-n barisan aritmatika dalam beberapa kondisi. Contoh soal ini disusun berdasarkan beberapa model soal yang paling sering keluar tentang menentukan rumus suku ke-n (Un) sehingga diharapkan dapat membantu murid memahami konsep barisan aritmatika dan memperkaya model soal mereka.

Contoh 1: Beda dan Suku Pertama Diketahui

Suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 40. Jika selisih antara setiap dua suku yang berurutan (berdekatan) adalah 6, maka rumus suku ke-n barisan tersebut dalam variabel n adalah ....
A. Un = 6n + 34
B. Un = 6n + 46
C. Un = 4n + 46
D. Un = 4n + 34
E. Un = 6n - 34

Pembahasan :
Dik : a = 40, b = 6
Dit : Un = .... ?

Sesuai dengan konsep barisan aritmatika, hubungan antara suku pertama, beda, dan suku ke-n dapat dinyatakan dengan rumus berikut :
⇒ Un = a + (n - 1)b

Jika nilai a dan b disubstitusi, maka kita peroleh persamaan :
⇒ Un = 40 + (n - 1)6
⇒ Un = 40 + 6n - 6
⇒ Un = 6n + 40 - 6
⇒ Un = 6n + 34

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 6n + 34.

Contoh 2 : Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn) Diketahui

Jika rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 5n² - 7n, maka rumus suku ke-n deret tersebut sama dengan .....
A. Un = 10n + 12
B. Un = 10n − 12
C. Un = 10n + 2
D. Un = 10n − 2
E. Un = 10n − 1

Pembahasan :
Dik : Sn = 5n² - 7n
Dit : Un = .... ?

Sesuai dengan konsep barisan aritmatika yang telah dibahas pada artikel sebelumnya, hubungan antara suku ke-n dengan jumlah n suku pertama dan jumlah n-1 suku pertama adalah sebagai berikut :
⇒ Un = Sn − S_n-1

Jumlah n-1 suku pertama (S_n-1) diperoleh dengan mensubstitusi n = n - 1 ke rumus Sn yang diberikan dalam soal sebagai berikut :
⇒ S_n-1 = 5(n - 1)² - 7(n - 1)
⇒ S_n-1 = 5(n² - 2n + 1) - 7n + 7
⇒ S_n-1 = 5n² - 10n + 5 - 7n + 7
⇒ S_n-1 = 5n² - 17n + 12

Rumus suku ke-n :
⇒ Un = Sn − S_n-1
⇒ Un = 5n² - 7n − (5n² - 17n + 12)
⇒ Un = 5n² − 5n² - 7n + 17n − 12
⇒ Un = 10n − 12

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah 10n - 12.

Contoh 3 : Jumlah n Suku Pertama Diketahui

Sebuah deret aritmatika terdiri dari 5 suku. Jika jumlah deret tersebut adalah 50 dan suku pertama adalah 2, maka rumus suku ke-n deret tersebut dalam variabel n adalah ....
A. Un = 4n + 6
B. Un = 4n  + 4
C. Un = 4n + 2
D. Un = 4n - 2
E. Un = 4n - 6

Pembahasan :
Dik : n = 5, a = 2, Sn = 50
Dit : Un = .... ?

Berdasarkan rumus jumlah n suku pertama, hubungan antara banyak suku, suku pertama, dan beda dapat dinyatakan sebagai berikut :
⇒ Sn = ⁿ/₂ {2a + (n - 1)b}

Dengan rumus tersebut, kita dapat menentukan beda barisan :
⇒ 50 = ⁵/₂ {2.2 + (5 - 1)b}
⇒ 50 = ⁵/₂ (4 + 4b)
⇒ 100 = 5(4 + 4b)
⇒ 100 = 20 + 20b
⇒ 100 - 20 = 20b
⇒ 20b = 80
⇒ b = 4

Karena nilai a dan b sudah diketahui, maka rumus suku ke-n menjadi:
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 2 + (n - 1)4
⇒ Un = 2 + 4n - 4
⇒ Un = 4n - 2

Jadi, rumus suku ke-n deret tersebut adalah 4n - 2.

Contoh 4 : Diketahui Dua Suku Sebarang

Diketahui suku keempat dan suku kesepuluh suatu barisan aritmatika adalah 11 dan 29. Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah ....
A. Un = 3n - 1
B. Un = 3n + 1
C. Un = 3n + 5
D. Un = 3n - 5
E. Un = 3n + 3

Pembahasan :
Dik : U₄ = 11, U₁₀ = 29
Dit : Un = ... ?

Persamaan untuk suku keempat :
⇒ U₄ = 11
⇒ a + 3b = 11
⇒ a = 11 - 3b .... (1)

Persamaan untuk suku kesepuluh :
⇒ U₁₀ = 29
⇒ a + 9b = 29 ... (2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
⇒ a + 9b = 29
⇒ (11 - 3b) + 9b = 29
⇒ 11 + 6b = 29
⇒ 6b = 29 - 11
⇒ 6b = 18
⇒ b = 3

Substitusi nilai b = 3 ke persamaan (1)
⇒ a = 11 - 3b
⇒ a = 11 - 3.3
⇒ a = 11 - 9
⇒ a = 2

Nilai a dan b sudah diperoleh, maka rumus suku ke-n menjadi :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 2 + (n - 1)3
⇒ Un = 2 + 3n - 3
⇒ Un = 3n - 1

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 3n - 1.

Contoh 5 : Diketahui Beberapa Suku

Diketahui suatu barisan aritmatika : 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, .... Rumus suku ke-n barisan tersebut dalam variabel n adalah .....
A. Un = 4n + 18
B. Un = 4n + 10
C. Un = 4n + 8
D. Un = 4n - 10
E. Un = 4n + 18

Pembahasan :
Dik : a = 14, b = 18 - 14 = 4
Dit : Un = ... ?

Karena a dan b sudah diketahui, maka :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 14 + (n - 1)4
⇒ Un = 14 + 4n - 4
⇒ Un = 4n + 10

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 4n + 10.